Dénombrement

Exercice 2228. On sert une main de $5$ cartes à un joueur de poker d'un jeu de $52$ cartes. \\
  1. Quelle est la probabilité que celle-ci comporte exactement une paire d'as ? \\
  2. Même question sachant que le jeu distribué comporte au moins un As.
Exercice 2229. Sur une étagère d'une bibliothèque sont disposés 20 libres deux à deux distincts. \\
  1. Combien y a-t-il de rangements possibles ? \\
  2. Deux de ces 20 livres sont signés par monsieur F. Combien y-a-t-il de rangements possibles tels que ces deux livres soient côte à côte ? \\
  3. On range les livres completement au hasard. QUelle est la probabilité que les deux livres de monsieur F. ne soient pas côte à côte ?
Exercice 2230. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $E$ un ensemble fini à $n$ éléments. Dénombrer dans $E$ :\\
  1. les relations,\\
  2. les relations réflexives,\\
  3. les relations symétriques,\\
  4. les relations antisymétriques,\\
  5. les relations réflexives et symétriques,\\
  6. les relations réflexives et antisymétriques.
Exercice 2231. Soit $a$ et $b$ deux entiers positifs ou nuls.\\ On appelle chemin monotone de $(0,0)$ vers $(a,b)$ une succession de pas de longueur $1$ vers la droite ou vers le haut, de point de départ $(0,0)$ et de point d’arrivée $(a,b)$.\\ On dispose de $x$ couleurs pour colorier les pas vers le haut, et de $y$ couleurs pour les pas vers la droite.\\ En comptant de deux manières différentes les chemins colorés de longueur $n$, retrouver la formule du binôme pour $(x+y)^n$, dans le cas où $x$ et $y$ sont entiers positifs.
Exercice 2232. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, combien y a-t-il de nombres entiers naturels dont l'écriture en base dix comporte exactement $n$ chiffres dont un chiffre $1$ et un seul ?
Exercice 2233. On tire successivement sans remise $n$ boules dans une urne contenant initialement $b$ boules blanches et $r$ boules rouges, où $n \leqslant b+r$.\\
  1. On suppose les boules blanches discernables entre elles (par exemple par une numérotation) ainsi que les boules rouges.\\
    1. Dénombrer le nombre de tirages possibles amenant un total de exactement $k$ boules rouges ($k \leqslant \min(n,r)$).\\
    2. Déterminer le nombre de tirages telles que la $m$-ième boule rouge tirée le soit lors du $k$-ième tirage ($m \leqslant r$, $k-m \leqslant b$).\\
  2. Mêmes questions en supposant les boules blanches discernables et les boules rouges indiscernables.\\
  3. Mêmes questions en supposant les boules blanches indiscernables et les boules rouges discernables.\\
  4. Mêmes questions en supposant les boules blanches indiscernables entre elles, ainsi que les boules rouges.
Exercice 2234. (Formule de Vandermonde généralisée)\\ Soit $p \geqslant 2$, $q \geqslant 0$, et $(a_1,\ldots,a_p) \in \N^p$.\\ Montrer que\\ \[ \Sum_{\substack{j_1+\cdots+j_p=q}} \binom{a_1}{j_1}\cdots\binom{a_p}{j_p} =\binom{a_1+\cdots+a_p}{q} \]
Exercice 2235. Soit $n \geqslant 2$.\\ Quel est le nombre de surjections de $\llbracket 1,n+2 \rrbracket$ dans $\llbracket 1,n \rrbracket $ ?
Exercice 2236. On appelle dérangement de $\llbracket 1,n\rrbracket$ une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ n’ayant aucun point fixe.\\ On note $D_n$ le nombre de dérangements de $\llbracket 1,n\rrbracket$.\\ Par convention, $D_0=1$.\\ Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $D_{n+1}=n(D_n+D_{n-1})$.\\ Indication : on pourra admettre que toute permutation de $\llbracket 1,n\rrbracket$ s’écrit comme produit de permutations cycliques à supports formant une partition de $\llbracket 1,n\rrbracket$.
Exercice 2237. On considère dans $\N^2$ des chemins partant de l’origine $(0,0)$, et constitués de pas montants $(x,y)\mapsto(x+1,y+1)$ et de pas descendants $(x,y)\mapsto(x+1,y-1)$.\\ Pour un $n \in \N^*$, on note $\mathcal{D}_n$ l’ensemble des chemins de $n$ pas montants et $n$ pas descendants restant toujours au-dessus de l’axe des abscisses (au sens large).\\ Ainsi, au bout de $2n$ pas, ces chemins se terminent sur l’axe des abscisses. Ces chemins sont appelés chemins de Dyck.\\ On appelle rampe descendante de longueur $k$ une succession d’un pas montant, et de $k$ pas descendants terminant sur l’axe des abscisses.\\ On note $\mathcal{C}_n$ l’ensemble des chemins de $\mathcal{D}_n$ n’ayant aucune rampe descendante de longueur paire.\\ Établir une bijection entre $\mathcal{D}_n$ et $\mathcal{C}_{n+1}$.