Conditionnement

Exercice 913. Une usine est composée de deux ateliers produisant une pièce mécanique. Il s'avère que $3$% des pièces produites dans le premier atelier sont défectueuses ainsi que $4$% de celles produites dans le second. De plus, le premier atelier fournit deux fois plus de pièces que le second. On tire au hasard une pièce produite dans l'usine. \\

1. Quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée dans le premier atelier ? \\
2. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse et qu'elle ait été fabriquée dans le premier atelier ? \\
3. Quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée dans le premier atelier sachant qu'elle est défectueuse ?

Exercice 914. Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) > 0$. \\ Comparer les probabilités \[ P(A \cap B | A \cup B) \quad \mathrm{et} \quad P(A \cap B | A ) \]

Exercice 915. Soient $A$ et $B$ deux événements. \\ On suppose $0 < P(B) < 1$. \\ Montrer que $P(A) = P(A | B)P(B) + P(A | \bar{B})P(\bar{B})$.

Exercice 916. Soient $A$, $B$ et $C$ trois événements tels que $P(B \cap C) > 0$. \\ Montrer que \[ P(A | B \cap C) P(B | C) = P(A \cap B | C) \]

Exercice 917. Une urne contient $2$ boules blanches et $4$ boules noires. On tire une boule, on la remet dans l'urne et on ajoute $2$ boules de la couleur de la boule tirée. On tire une deuxième boule. \\ Quelle est la probabilité d'obtenir une première boule blanche et une seconde noire ?

Exercice 918. On considère N coffres. Avec une probabilité $p$ un trésor à été placé dans l'un des coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert $N-1$ coffres sans trouver le tresor, quelle est la probabilité pour qu'il figure dans le dernier coffre ?

Exercice 919. Une urne contient $8$ boules blanches et deux boules noires. \\ On tire sans remise et successivement $3$ boules de cette urne. \\

1. Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure à l'intérieur du tirage ?\\
2. Sachant qu'une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire ?

Exercice 920. Une urne contient des boules noires et des boules blanches. Il y a 10 boules noires de plus que de blanches. Parmi les boules noires, $20$% portent un numéro. Parmi les blanches, $10$% portent un numéro. On sait que, quand on tire une boule dans cette urne et qu'elle est numérotée, la probabilité qu'elle soit blanche est de $0,25$. \\ Calculer le nombre de boules noires et blanches dans cette urne.

Exercice 921. A la sortie d'une usine produisant des voitures cinq jours par semaine, la probabilité qu'un véhicule pris au hasard présente un défaut est de $10$% les mardi, mercredi, jeudi et vendredi, et $20$% les lundi. \\ Une voiture prise au hasard présente un défaut, quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée un lundi ?