Positions relatives, points d'intersections
Exercice 191. Position relative
\\ Déterminer la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = e^{x} + x^2$ et $g(x) = x^2 +1$.Exercice 192. Position relative n°2
\\ Soient $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = x^2+2x+1$ et $g(x) = x^3+x^2+1$. \\ Etudier la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$.Exercice 193. Position relative n°3
\\ Soit $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = x^2e^{-x}$ et $g(x) = e^{-x}$.\\ Etudier la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$.Exercice 194. Position relative n°4
\\ Soit les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = e^x$ et $g(x) = 2e^{\frac{x}{2}}-1$.\\- Démontrer que les courbes $\Cf$ et $\Cg$ ont un point commun d'abscisse 0 et qu'en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation. \\
- Pour tout réel $x$, développer l'expression $(e^\frac{x}{2}-1)^2$. \\
- Déterminer la position relative des courbes $\Cg$ et $\Cf$.
Exercice 195. Point d'intersection
\\ Soit $a$ un réel strictement positif et $f$ la fonction définie sur $\Rpe$ par $f(x) = a\ln{x}$.\\ Déterminer l'abscisse du point d'intersection de $\Cf$ avec l'axe des abscisses.Exercice 196. Point d'intersection n°2
\\ Soit $f(x) = 5e^{-x}+3e^{-2x}+x-3$ et la droite $d$ d'équation $y=x-3$. \\ On pose $g(x) = f(x) -(x-3)$ sur $\Rp$. \\- Justifier que $\forall x \in \Rp, \quad g(x) > 0$. \\
- La courbe $\Cf$ et la droite $d$ ont-elles un point commun ? Justifier.
Exercice
197. Soit un réel $k > 0$. \\
On note $f_k$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $f_k(x) = kxe^{-kx}$.\\
Montrer que pour tout réel $k > 0$, les courbes $\mathscr{C}_k$ passent par un même point.
Exercice
198. Pour tout $k$ entier relatif, on note $f_k$ la fonction définie sur $\R$ par $f_k(x) = (x+1)e^{kx}$.\\
- Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_0$ et $\Cu$. \\
- Vérifier que pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathscr{C}_k$. \\
- Etudier le signe de $(x+1)(e^x-1)$ suivant les valeurs de $x$. \\
- En déduire pour $k$ entier relatif, les positions relatives des courbes $\mathscr{C}_k$ et $\mathscr{C}_{k+1}$.