Probabilités

Exercice 906. Soient $A$, $B$ et $C$ trois événements. \\ Exprimer les événements suivants : \\

1. Aucun des événements $A$, $B$ ou $C$ n'est réalisé. \\
2. Un seul des trois événements $A$, $B$ ou $C$ est réalisé. \\
3. Au moins deux des trois événements $A$, $B$ ou $C$ sont réalisés. \\
4. Pas plus de deux des trois événements $A$, $B$ ou $C$ sont réalisés.

Exercice 907. On lance un dé à $6$ faces truqué. La probabilité d'apparition de chaque face est proportionnelle au numéro inscrit sur elle. \\ Calculer la probabilité d'obtenir : \\

1. Chaque face \\
2. Un nombre pair

Exercice 908. On lance un dé équilibré $4$ fois. \\

1. Calculer la probabilité d'obtenir quatre fois le même chiffre. \\
2. Calculer la probabilité d'obtenir quatre chiffres différents. \\
3. Calculer la probabilité d'obtenir quatre chiffres qui se suivent (croissants ou décroissants).

Exercice 909. Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Les lancers successifs sont indépendants, et le joueur gagne $1$ euro chaque fois qu'il obtient pile et perd un euro pour chaque face. Le jeu prend fin lorsque le joueur est ruiné ou lorsqu'il a accumulé $N$ euros $(N \geqslant 3$ fixé par avance $)$. \\ On note $u_k$ la probabilité que le joueur soit ruiné lorsqu'il possède $k$ euros au départ du jeu $(0 \leqslant k \leqslant N)$. \\

1. On convient que $u_0 = 1$ et $u_N =0$. Justifier cette convention. \\
2. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 1, N-1 \rrbracket$, $u_k = \Frac{1}{2}u_{k+1} + \Frac{1}{2}u_{k-1}$. \\
3. Exprimer $u_k$ en fonction de $k$ et $N$. Interpréter $\displaystyle \lim_{N \to +\infty} u_k$.