Calculs trigonométriques

Exercice 896. Résoudre l'équation $\sin(3x)=\sin(x)$.
Exercice 897. Résoudre l'équation $\tan(2x)=1$.
Exercice 898. Résoudre l'équation $\sin\parenthese{x+\Frac{3\pi}{4}} = \cos{\Frac{x}{4}}$.
Exercice 899. Résoudre l'équation $2\cos^3(x)+\cos^2(x)-5\cos(x)+2 =0$.

Exercice 900. Oral CCP

\\ Résoudre l'équation d'inconnue $x \in \R$ : $\sqrt{3}\cos{x}-\sin{x} = \sqrt{3}$.
Exercice 901. \\
  1. Trouver les extrema de la fonction $x \mapsto \sin^2(x)\sin(2x)$ sur $[0,\pi]$.\\
  2. En déduire que, pour tout $x \in \R$ et tout $n \in \N$, on a \[ \left\lvert \Prod_{k=0}^{n} \sin(2^k x) \right\rvert \leqslant \parenthese{\Frac{\sqrt{3}}{2}}^{n}. \] Trouver la valeur de la limite de ce produit quand $n \to +\infty$.
Exercice 902. Montrer que, parmi treize réels distincts, on peut toujours en trouver deux, disons $x$ et $y$, tels que\\ \[ 0 < \Frac{x-y}{1+xy} < 2-\sqrt{3}. \]

Exercice 903. Oral Mines-Pont

\\ Calculer $\Sum_{k=1}^{4} \cos^2\parenthese{\Frac{k\pi}{9}}$.
Exercice 904. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, pour tout $\theta_1,\hdots,\theta_n$ réels, \[ \Sum_{(\varepsilon_1,\hdots,\varepsilon_n)\in \{-1,1\}} \cos\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k \theta_k} = 2^n \Prod_{k=1}^{n} 2^n \cos(\theta_k) \]
Exercice 905. Soient $n \in \N$ et $a_{1},\ldots,a_{n}$ des éléments de $[0,\pi]$. Montrer que \[ \Sum_{k=1}^{n}\sin(a_{k}) \leqslant n\sin\parenthese{\Frac{\Sum_{k=1}^{n}a_{k}}{n}}. \]