Exercices divers
Exercice
899. Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ l'application définie par \[ f(x) = \begin{cases} x \quad si \;\; x \in [0,1] \cap \Q \\ 1-x \;\; sinon \end{cases} \]
Montrer que $f \circ f = Id_{[0,1]}$.
Exercice
900. Soit $n \in \N^*\backslash\{1\}$. Soit $E$ un ensemble et $E_1, \hdots, E_n$ des parties distinctes deux à deux de $E$. \\
Montrer qu'il existe $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$ tel que $E_i$ ne contient aucun des $E_k$ pour $k \in \llbracket 1,n \rrbracket \backslash \{i\}$.
Exercice 901. X-ESPCI
\\ Déterminer toutes les applications $f : \N^* \to \N$ telles que $f+f\circ f + f \circ f \circ f = 3Id_{\N^*}$.Exercice 902. Ensembles dénombrables
\\- Montrer que $\Z$ est dénombrable. \\
- Montrer que $\N \times \N$ est dénombrable. \\
- Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $\N^k$ est dénombrable. \\ On admettra qu'un ensemble $E$ est dénombrable si et seulement si il est infini et il existe une injection de $E$ dans $\N$. \\