Utilisation des théorèmes

Exercice 1515. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\abs{\sin{x}} \leqslant \abs{x}$.
Exercice 1516. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[1,2]$ avec $f(1)=f(2)=0$.\\ Montrer qu'il existe une tangente à la courbe passant par l'origine.
Exercice 1517. Soient $\lambda \in \R$, $(a,b) \in \R^{2}$ tels que $0 < a < b$, et $f : [a,b] \to \R$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, telle que \[ f(a)=f(b)=0. \] Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=-\lambda \Frac{f(c)}{c}$.
Exercice 1518. Soit $f : \R \to \R$ une fonction dérivable.\\ Montrer que\\ \[ \forall x > 0,\;\exists c > 0,\; f(x)-f(-x)=x\,(f'(c)+f'(-c)). \]
Exercice 1519. Soit $f : [-1,1] \to \R$ de classe $C^{1}$ sur $[-1,1]$, deux fois dérivable sur $]-1,1[$, telle que \[ f(-1)=-1,\quad f(0)=0,\quad f(1)=1. \] Montrer qu'il existe $c \in ]-1,1[$ tel que $f''(c)=0$.
Exercice 1520. Soient $(a,b) \in \R^{2}$ tels que $a < b$, et $f : [a,b] \to \R$ de classe $C^{1}$ sur $[a,b]$, deux fois dérivable sur $]a,b[$, telle que \[ f(a)=f(b)=0,\quad f'(a)=f'(b)=0. \] Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f''(c)=0$.
Exercice 1521. Soit $f : \R \to \R$ dérivable telle que\\ \[ \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty \quad \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty. \]\\ Montrer qu'il existe $c \in \R$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice 1522. Soit $f : [a,b] \to \R$ de classe $C^{2}$ vérifiant $f(a)=f'(a)$ et $f(b)=f'(b)$.\\ Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=f''(c)$.
Exercice 1523. Soit $f : \R \to \R$ une fonction dérivable telle que $f(0)= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.\\ Montrer que la dérivée s'annule sur $]0,+\infty[$.
Exercice 1524. Soit $f : [0,1] \to \R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)\, f'(1) < 0$.\\
  1. Montrer que $f'$ s'annule sur $]0,1[$.\\
  2. Que se passe-t-il si $f$ est seulement dérivable sur $[0,1]$ ?
Exercice 1525. \\
  1. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ avec $f'(a) < 0 < f'(b)$.\\ Montrer que $f'$ s'annule.\\
  2. Montrer qu'une dérivée vérifie toujours le théorème des valeurs intermédiaires : si $f : I \to \R$ est une fonction dérivable, alors $f'(I)$ est un intervalle.
Exercice 1526. Soit $f$ : $\R \to \R$ dérivable admettant des limites finies égales en $+ \infty$ et $- \infty$. \\ Montrer que $f'$ s'annule.
Exercice 1527. Soit $n \in \N$ et $f : I \to \R$ une application de classe $C^{n}$ s'annulant en $n+1$ points distincts de $I$.\\
  1. Montrer que la dérivée $n$-ième de $f$ s'annule au moins une fois sur $I$.\\
  2. Soit $\alpha$ un réel. Montrer que la dérivée $(n-1)$-ième de $f' + \alpha f$ s'annule au moins une fois sur $I$.
Exercice 1528. Soit $a > 0$ et $f : [0,a] \to \R$ une fonction dérivable telle que\\ $f(0)=0$, $f(a)=0$ et $f'(0)=0$.\\
  1. Montrer que la dérivée de $x \mapsto f(x)/x$ s'annule sur $]0,a[$.\\
  2. En déduire qu'il existe un point autre que l'origine en lequel la tangente à $f$ passe par l'origine.
Exercice 1529. Soient $n \in \N$, $(a_{0},\ldots,a_{n}) \in \R^{n+1}\setminus\{(0,\ldots,0)\}$ et $b_{0},\ldots,b_{n} \in \R$ deux à deux distincts. On définit \[ f : \R \to \R,\quad f(x)=\Sum_{k=0}^{n} a_{k} e^{\,b_{k}x}. \] Montrer que $f$ s'annule en au plus $n$ réels.
Exercice 1530. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ telle que \\ \[ f(x)^2 + (1 + f'(x))^2 \leqslant 1. \] Montrer que $f = 0$.
Exercice 1531. Soient $n \in \N^{*}$ et $a_{1},\ldots,a_{n} \in \R$ tels que $\Sum_{k=1}^{n} a_{k}=0$. \\ Montrer que l'équation $\Sum_{k=1}^{n} k a_{k} x^{k-1}=0$ admet au moins une solution $x \in ]0,1[$.
Exercice 1532. Soit $P(X)$ un polynôme à coefficients réels.\\
  1. Montrer que l’équation $P(x)=\mathrm e^{x}$ admet un nombre fini de solutions.\\
  2. Montrer que l’équation $P(x)=\cos x$ admet un nombre fini de solutions lorsque le polynôme $P(X)$ n’est pas constant.
Exercice 1533. Soit $f$ dérivable sur $]0,+\infty[$ avec $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 2$.\\ Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \Frac{f(x)}{x} = 2$.
Exercice 1534. Soit $f : [0,1] \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(0)=f(1)=0$ et $f'' \geqslant f$. \\ Montrer que $f$ est négative.
Exercice 1535. Soit f : I $\to$ $\R$ dérivable en $a \in I$. On suppose que $a$ n'est pas sur le bord de I. Montrer que si $a$ est un maximum local de f, alors $f'(a) = 0$. La réciproque est-elle vraie ? Montrer que si f est deux fois dérivable en a, avec $f'(a) = 0$ et $f''(a) < 0$ alors a est un maximum local.