Rolle, accroissements finis

Exercice 1641. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\abs{\sin{x}} \leqslant \abs{x}$.
Exercice 1642. Soient $\lambda \in \R$, $(a,b) \in \R^{2}$ tels que $0 < a < b$, et $f : [a,b] \to \R$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, telle que \[ f(a)=f(b)=0. \] Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=-\lambda \Frac{f(c)}{c}$.
Exercice 1643. Soit $f : \R \to \R$ une fonction dérivable.\\ Montrer que\\ \[ \forall x > 0,\;\exists c > 0,\; f(x)-f(-x)=x\,(f'(c)+f'(-c)). \]
Exercice 1644. Soit $f : [-1,1] \to \R$ de classe $C^{1}$ sur $[-1,1]$, deux fois dérivable sur $]-1,1[$, telle que \[ f(-1)=-1,\quad f(0)=0,\quad f(1)=1. \] Montrer qu'il existe $c \in ]-1,1[$ tel que $f''(c)=0$.
Exercice 1645. Soient $(a,b) \in \R^{2}$ tels que $a < b$, et $f : [a,b] \to \R$ de classe $C^{1}$ sur $[a,b]$, deux fois dérivable sur $]a,b[$, telle que \[ f(a)=f(b)=0,\quad f'(a)=f'(b)=0. \] Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f''(c)=0$.
Exercice 1646. Soit $n \in \N$ et soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $n$.\\ Montrer que $P$ admet au plus $n$ racines réelles distinctes.
Exercice 1647. Soit $f : \R \to \R$ dérivable telle que\\ \[ \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty \quad \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty. \]\\ Montrer qu'il existe $c \in \R$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice 1648. Soit $f : \R \to \R$ une fonction dérivable telle que $f(0)= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.\\ Montrer que la dérivée s'annule sur $]0,+\infty[$.
Exercice 1649. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[1,2]$ avec $f(1)=f(2)=0$.\\ Montrer qu'il existe une tangente à la courbe passant par l'origine.
Exercice 1650. Soit $f : [a,b] \to \R$ de classe $C^{2}$ vérifiant $f(a)=f'(a)$ et $f(b)=f'(b)$.\\ Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=f''(c)$.
Exercice 1651. Soit $f : [0,1] \to \R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)\, f'(1) < 0$.\\
  1. Montrer que $f'$ s'annule sur $]0,1[$.\\
  2. Que se passe-t-il si $f$ est seulement dérivable sur $[0,1]$ ?
Exercice 1652. \\
  1. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ avec $f'(a) < 0 < f'(b)$.\\ Montrer que $f'$ s'annule.\\
  2. Montrer qu'une dérivée vérifie toujours le théorème des valeurs intermédiaires : si $f : I \to \R$ est une fonction dérivable, alors $f'(I)$ est un intervalle.
Exercice 1653. Soit $f$ : $\R \to \R$ dérivable admettant des limites finies égales en $+ \infty$ et $- \infty$. \\ Montrer que $f'$ s'annule.
Exercice 1654. Soit $n \in \N$ et $f : I \to \R$ une application de classe $C^{n}$ s'annulant en $n+1$ points distincts de $I$.\\
  1. Montrer que la dérivée $n$-ième de $f$ s'annule au moins une fois sur $I$.\\
  2. Soit $\alpha$ un réel. Montrer que la dérivée $(n-1)$-ième de $f' + \alpha f$ s'annule au moins une fois sur $I$.
Exercice 1655. Soit $a > 0$ et $f : [0,a] \to \R$ une fonction dérivable telle que\\ $f(0)=0$, $f(a)=0$ et $f'(0)=0$.\\
  1. Montrer que la dérivée de $x \mapsto f(x)/x$ s'annule sur $]0,a[$.\\
  2. En déduire qu'il existe un point autre que l'origine en lequel la tangente à $f$ passe par l'origine.
Exercice 1656. Soient $n \in \N$, $(a_{0},\ldots,a_{n}) \in \R^{n+1}\setminus\{(0,\ldots,0)\}$ et $b_{0},\ldots,b_{n} \in \R$ deux à deux distincts. On définit \[ f : \R \to \R,\quad f(x)=\Sum_{k=0}^{n} a_{k} e^{\,b_{k}x}. \] Montrer que $f$ s'annule en au plus $n$ réels.
Exercice 1657. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ telle que \\ \[ f(x)^2 + (1 + f'(x))^2 \leqslant 1. \] Montrer que $f = 0$.
Exercice 1658. Soient $n \in \N^{*}$ et $a_{1},\ldots,a_{n} \in \R$ tels que $\Sum_{k=1}^{n} a_{k}=0$. \\ Montrer que l'équation $\Sum_{k=1}^{n} k a_{k} x^{k-1}=0$ admet au moins une solution $x \in ]0,1[$.
Exercice 1659. Soit $P(X)$ un polynôme à coefficients réels.\\
  1. Montrer que l’équation $P(x)=\mathrm e^{x}$ admet un nombre fini de solutions.\\
  2. Montrer que l’équation $P(x)=\cos x$ admet un nombre fini de solutions lorsque le polynôme $P(X)$ n’est pas constant.
Exercice 1660. Soit $f$ dérivable sur $]0,+\infty[$ avec $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 2$.\\ Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \Frac{f(x)}{x} = 2$.
Exercice 1661. Soit $f : [0,1] \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(0)=f(1)=0$ et $f'' \geqslant f$. \\ Montrer que $f$ est négative.
Exercice 1662. Soit $f$ : $I$ $\to$ $\R$ dérivable en $a \in I$. On suppose que $a$ n'est pas sur le bord de $I$. Montrer que si $a$ est un maximum local de $f$, alors $f'(a) = 0$. La réciproque est-elle vraie ? Montrer que si f est deux fois dérivable en a, avec $f'(a) = 0$ et $f''(a) < 0$ alors a est un maximum local.
Exercice 1663. Soient $n \in \N^*$, $a,b \in \R$ tels que $a < b$ et $f:[a,b]\to\R$ une fonction $n$ fois dérivable vérifiant :\\ $f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0=f(b)$.\\ Montrer que $f^{(n)}$ s’annule au moins une fois sur $[a,b]$.
Exercice 1664. Soient $a,b \in \R$ tels que $a < b$. Soient $f,g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$.\\
  1. Le théorème de Rolle généralisé. Montrer que :\\ $\exists c \in ]a,b[,\; f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a))$.\\
  2. Application : la règle de l’Hospital. Supposons qu’il existe $d \in ]a,b[$ tel que $\forall x \in ]a,d[,\, f(x)\neq f(a)$ et qu’il existe un réel $\ell$ tel que $\Frac{f'(x)}{g'(x)} \xrightarrow[x\to a]{} \ell$.\\ Montrer que $\Frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} \xrightarrow[x\to a]{} \ell$.
Exercice 1665. Soit $f:\R\to\R$ une fonction dérivable bornée possédant au moins $n$ zéros réels distincts. Soit $\alpha \in \R_+^*$. Le but est de montrer que $\alpha f+f'$ a au moins $n$ zéros réels distincts.\\ Pour cela, on note la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)e^{\alpha x}$.\\
  1. Montrer que $g'$ s’annule au moins $n-1$ fois.\\
  2. Déterminer $\lim_{x\to-\infty} g$.\\
  3. En déduire l’existence d’un autre zéro pour $g'$, distinct des précédents.\\
  4. Conclure.
Exercice 1666. Montrer que : $\forall t \in \left[-\Frac{1}{2},\Frac{1}{2}\right],\;|\ln(1+t)-t|\leqslant 2t^2$.
Exercice 1667. Soit $a \in \R$ et $f : [a,+\infty[ \to \R$ une fonction dérivable. Soit $l \in \R_+^*$. Prouver les implications suivantes :\\
  1. $f'(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty \Rightarrow f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty$.\\
  2. $f'(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}0 \Rightarrow \Frac{f(x)}{x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}0$.\\
  3. $f'(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}l \Rightarrow \parenthese{\Frac{f(x)}{x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}l \;\mathrm{et}\; f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty}$.
Exercice 1668. Soit $f : [a,b] \to \R$ une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$.\\ On suppose qu’il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$ et que $f$ admet une dérivée seconde en $c$ strictement positive.\\ Montrer qu’il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que la restriction de $f$ à $I$ admette un minimum strict en $c$.
Exercice 1669. Soit $f : I \to \R$, $g : I \to \R$ et $a \in I$.\\ On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et dérivables sur $I\setminus\{a\}$.\\ On suppose que $f(a)=g(a)=0$ et que pour tout $x \in I\setminus\{a\}$ on a $g(x)\neq 0$ et $g'(x)\neq 0$.\\ Montrer que si $\Frac{f'}{g'}\xrightarrow[x\to a]{}l$, alors $\Frac{f}{g}\xrightarrow[x\to a]{}l$.