Utilisation des théorèmes

Exercice 1073. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\abs{\sin{x}} \leqslant \abs{x}$.

Exercice 1074. Fonction Lipschitzienne

\\ Soit $I \subset \R$, $f : I \to \R$ et $k > 0$. $f$ est dite $k$-lipschitzienne si \[ \forall (x,y) \in I^2, \; \abs{f(x)-f(y)} \leqslant k\abs{x-y} \] Montrer que si $f'$ est bornée, alors $f$ est lispchitzienne.

Exercice 1075. Fonction Lipschitzienne

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $[a,b] \to \R$ continues. On pose pour $t \in \R$, \[ h(t) = \underset{x \in [a,b]}{\sup} \{f(x)+tg(x)\} \] Montrer que $h$ est Lipschitzienne.
Exercice 1076. On considère la suite récurrente définie par $u_0 \in \R^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n \in \N$ où $f$ est la suite définie par \[ f(x)=1+\Frac{1}{4}\sin\!\parenthese{\Frac{1}{x}}. \]
  1. Déterminer $I=f(\R^*)$ et montrer que $I$ est stable par $f$.\\
  2. Démontrer qu’il existe $\gamma \in I$ tel que $f(\gamma)=\gamma$.\\
  3. Démontrer que pour tout $x \in I$, $\abs{f'(x)} \leqslant \Frac{4}{9}$. \\
  4. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Exercice 1077. On considère la suite récurrente définie par $u_0 \in \R^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n \in \N$ où $f$ est la suite définie par \[ f(x)=\Frac{e^x}{x+2}. \] \\
  1. Montrer que $[0,1]$ est stable par $f$.\\
  2. Démontrer qu’il existe $\gamma \in I$ tel que $f(\gamma)=\gamma$.\\
  3. Démontrer que pour tout $x \in I$, $\abs{f'(x)} \leqslant \Frac{2e}{9}$. \\
  4. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Exercice 1078. Soit $P$ un polynôme. Montrer que l’équation $e^x - P(x) = 0$ d’inconnue $x$ n’a qu’un nombre fini de solutions.
Exercice 1079. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[0,1]$ dans $\R$ avec $f(0)=f'(0)=0$ et $f(1)=0$. Montrer qu’il existe $c \in ]0,1[$ tel que la tangente de $f$ au point $c$ passe par l’origine.
Exercice 1080. Soit $a \in \R$. Soit $f$ continue sur $[a,+\infty[$, dérivable sur $]a,+\infty[$ et tendant vers $f(a)$ en $+\infty$. Montrer qu’il existe $c>a$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice 1081. Soit $f$ continue sur $[0,1]$ dérivable sur $]0,1[$ vérifiant $f(0)=0$ et $f(1)=1$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, il existe des éléments distincts $0 < x_0 < \dots < x_{n-1} < 1$ tels que \[ \Sum_{k=0}^{n-1} f'(x_k) = n. \]
  2. Montrer qu’il existe $0 < y_0 < \dots < y_{n-1} < 1$ tels que \[ \Sum_{k=0}^{n-1} \Frac{1}{f'(y_k)} = n. \]