Dérivabilité
Exercice
1633. Soit $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x} \quad si \; x \neq 0 \\ 0 \quad si \; x = 0 \end{cases}$. \\
Etudier la continuité, la dérivabilité, et la continuité de la dérivée pour $f$.
Exercice
1634. Soit $f(x) = \begin{cases} x\cos{\frac{1}{x}} \quad si \;\; x \neq 0 \\ 0 \quad si \;\; x = 0 \end{cases}$. \\
$f$ est-elle dérivable en $0$? Continue en $0$ ?
Exercice
1635. Soit $f : \R \to \R$ une application telle que, pour tout $(x,y) \in \R^2$ avec $x\neq y$,
\[
\abs{f(x)-f(y)} \leqslant \abs{x-y}^{\frac{3}{2}} \abs{\ln\abs{x-y}}.
\]
Montrer que $f$ est constante.
Exercice
1636. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction dérivable.\\
On définit une fonction $g : [0,1] \to \R$ par\\
\[
g(x)
=
\begin{cases}
f(2x) & si \;\; x \in [0, \Frac12] \\
f(2x - 1) & sinon
\end{cases}
\]\\
À quelle condition $g$ est-elle dérivable ?
Exercice 1637. Centrale MP
\\ Déterminer les fonctions $f \in C^{1}(\R,\R)$ vérifiant $f \circ f = f$.
Exercice
1638. Montrer que $f : \R \to \R$ définie par\\
\[
f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
e^{\frac{1}{x}} & \mathrm{si}\; x < 0,\\
0 & \mathrm{si}\; x=0,\\
x^2\ln(x) & \mathrm{si}\; x > 0
\end{array}
\right.
\]
est dérivable sur $\R$.
Exercice
1639. Soit $h : \R \to \R$ définie par $h(x)=\lfloor x \rfloor+\parenthese{x-\lfloor x \rfloor}^2$.\\
- Soit $a \in \R\setminus \Z$. Posons $n=\lfloor a \rfloor$. On a donc $n < a < n+1$.\\ Montrer qu’il existe $\alpha \in \R_+^*$ tel que $]a-\alpha,a+\alpha[\subset ]n,n+1[$.\\
- Montrer que $h$ est dérivable en $a$ et calculer $h'(a)$.\\
- Soit $n \in \Z$ et $t \in ]n,n+1[$. Exprimer $\Frac{h(t)-h(n)}{t-n}$ et en déduire $h'_d(n)$.\\ Calculer de même $h'_g(n)$. La fonction $h$ est-elle dérivable en $n$ ?
Exercice
1640. Soit $f : \R \to \R$ dérivable en $x_0$.\\
Montrer que\\
\[
\Frac{f(b)-f(c)}{b-c}\xrightarrow[b\to x_0^+,\;c\to x_0^-]{}f'(x_0).
\]