Dérivabilité
Exercice
1509. Soit $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x} \quad si \; x \neq 0 \\ 0 \quad si \; x = 0 \end{cases}$. \\
Etudier la continuité, la dérivabilité, et la continuité de la dérivée pour $f$.
Exercice
1510. Soit $f(x) = \begin{cases} x\cos{\frac{1}{x}} \quad si \;\; x \neq 0 \\ 0 \quad si \;\; x = 0 \end{cases}$. \\
$f$ est-elle dérivable en $0$? Continue en $0$ ?
Exercice
1511. Soit $f : \R \to \R$ une application telle que, pour tout $(x,y) \in \R^2$ avec $x\neq y$,
\[
\abs{f(x)-f(y)} \leqslant \abs{x-y}^{\Frac{3}{2}} \abs{\ln\abs{x-y}}.
\]
Montrer que $f$ est constante.
Exercice
1512. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction dérivable.\\
On définit une fonction $g : [0,1] \to \R$ par\\
\[
g(x)
=
\begin{cases}
f(2x) & si \;\; x \in [0, \Frac12] \\
f(2x - 1) & sinon
\end{cases}
\]\\
À quelle condition $g$ est-elle dérivable ?
Exercice
1513. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$.