Exercices divers
Exercice 1197. Critère de Cauchy
\\ Soit $\Sum_{n \geqslant 0} u_n$ une série à termes positifs telle que : \[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{u_n} = \ell. \] \\- Démontrer que $\forall \varepsilon > 0, \; \exists n_0 \in \N, \; \forall n \geqslant n_0, \quad (\ell - \varepsilon)^n \leqslant u_n \leqslant (\ell + \varepsilon)^n$. \\
- On suppose que $\ell < 1$. Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 0} u_n$ est convergente.\\
- On suppose que $\ell > 1$. Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 0} u_n$ est divergente.\\
- En déduire la nature de la série dans le cas où $u_n = \parenthese{\Frac{n-1}{2n+1}}^n$.
Exercice
1198. On considère deux séries de termes généraux $u_n$ et $v_n$ qui sont strictement positifs et telles que $\forall n \in \N$ : \[ \Frac{v_{n+1}}{v_n} \leqslant \Frac{u_{n+1}}{u_n}. \] \\
- Que peut-on dire si la série de terme général $u_n$ converge ?\\
- Quelle est la nature de la série : \[ \Sum_{n \geqslant 1} \Frac{1 \times 4 \times 7 \times \dots \times (3n-2)}{3^n \times n!}. \]
Exercice
1199. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite décroissante de nombres réels qui tend vers $0$. Montrer que la série de terme général $(-1)^n u_n$ converge.\\
Indication : On pourra introduire les suites suivantes : $(S_{2n})_{n \in \N}$ et $(S_{2n+1})_{n \in \N}$ où $S_n$ désigne la somme partielle de la série de terme général $(-1)^n u_n$.\\