Séries à termes positifs

Exercice 1937. Soit $\Sum u_n$, $\Sum v_n$ et $\Sum w_n$ trois séries de réels telles que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$. \\ Montrer si $\Sum u_n$ et $\Sum w_n$ convergent, alors $\Sum v_n$ est aussi convergente.
Exercice 1938. Soit $a_n > 0$. A-t-on l’équivalence entre :\\
  1. Pour tout $x\in\R$, $\Sum a_nx^n$ converge.\\
  2. Pour tout $x\in\R^*$, $\Sum \Frac{1}{a_n}x^n$ diverge.
Exercice 1939. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels positifs. \\
  1. Montrer que la fonction $x \mapsto \Frac{x}{1+x}$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$. \\
  2. Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum \Frac{u_n}{1+u_n}$ sont de même nature.
Exercice 1940. Soit $(a_n)$ une suite décroissante de réels positifs. \\ On suppose que la série $\Sum a_n$ converge. \\ Montrer que $na_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.
Exercice 1941. Soient $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ deux séries de termes positifs convergentes. \\ Montrer que les séries $\Sum \sqrt{u_n v_n}$ et $\Sum \max(u_n,v_n)$ convergent.
Exercice 1942. Soient $\Sum a_n$ et $\Sum b_n$ deux séries convergentes à termes positifs.\\
  1. Montrer que les séries de termes généraux $\min(a_n,b_n)$ et $\max(a_n,b_n)$ convergent.\\
  2. Montrer que $\Sum \sqrt{a_nb_n}$ converge.\\
  3. En déduire que, si $\Sum a_n$ converge, alors $\Sum \sqrt{a_na_{n+1}}$ converge. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 1943. Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs telle que $\Sum u_n$ converge. \\ Déterminer la nature de $\Sum \sqrt{u_{2n}u_n}$.
Exercice 1944. Soient $\Sum u_n$, $\Sum v_n$ et $\Sum w_n$ $3$ séries convergentes à termes positifs. \\ Montrer que les séries $\Sum \sqrt[3]{u_nv_nw_n}$ et $\Sum \sqrt{u_nv_n+u_nw_n+v_nw_n}$ sont convergentes.
Exercice 1945. Soit $\Sum u_n$ une série à termes positifs. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ \\ \[ v_n = \Frac{1}{1 + n^2 u_n}. \] Si la série $\Sum u_n$ converge, déterminer la nature de la série $\Sum v_n$. Que peut-on dire si la série $\Sum u_n$ diverge ?
Exercice 1946. Soit $\Sum u_n$ une série convergente à termes positifs.\\
  1. Montrer que si $(u_n)_{n\in\N}$ est décroissante, alors $\limn nu_n=0$.\\
  2. Montrer par un contre-exemple que cela n’est pas vrai si $(u_n)_{n\in\N}$ n’est pas décroissante.
Exercice 1947. Soit $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels de $]0,1[$, telle que $\varepsilon_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$. \\ Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $p_n=\Prod_{i=1}^{n}(1-\varepsilon_i)$. \\ Montrer que $\Big(p_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\Big)\iff\Big(\Sum \varepsilon_n\;\; diverge\Big)$.
Exercice 1948. Soit $\Sum u_n$ une série à termes $>0$. On note pour tout $n \in \mathbb{N}^\ast$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n} u_k$. \\
  1. Soit $\alpha > 1$. Montrer que la série $\Sum \Frac{u_n}{S_n^\alpha}$ converge. \\
  2. Soit $\alpha \leqslant 1$. On suppose que la série $\Sum u_n$ diverge. Montrer que la série $\Sum \Frac{u_n}{S_n^\alpha}$ diverge. \\ On pourra utiliser le critère de Cauchy : si $(v_n)_n$ est une suite de réels, la série $\Sum v_n$ converge si et seulement si \\ $\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall p > q \geqslant N,\; \Abs{\Sum_{k=q}^{p} v_k} \leqslant \varepsilon$.
Exercice 1949. Calculer la nature de la série $\Sum u_n$, où $(u_n)$ est une suite décroissante de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ avec $k \geqslant 2$ et $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tels que, pour tout $n \geqslant n_0$, $k u_{kn} \geqslant u_n$.

Exercice 1950. X

\\ Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels qui tend vers $0$. \\ Montrer que $\Sum u_n$ et $\Sum n(u_n-u_{n+1})$ ont la même nature. \\ Lorsqu’elles sont définies, comparer les sommes de ces deux séries.
Exercice 1951. Soit $\Sum u_n$ une série à termes strictement positifs divergente.\\ On pose, pour tout $n\in\N$, $U_n=\Sum_{k=0}^n u_k$.\\ En comparant $\Frac{u_n}{U_n^\alpha}$ à une intégrale, étudier la convergence de la série de terme général $\Frac{u_n}{U_n^\alpha}$, pour tout $\alpha\in\R_+$.
Exercice 1952. Soit $\Sum u_n$ une série à termes positifs convergente telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant \Sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$.\\ Soit $S = \Sum_{n=0}^{+\infty} u_n$. Montrer que pour tout $x \in ]0,S]$ il existe une suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ de $(u_n)$ telle que $x = \Sum_{n=0}^{+\infty} u_{\varphi(n)}$.
Exercice 1953. Soit $\Sum_{n \geqslant 1} a_n$ une série à termes positifs convergente, et $u_n = (a_1 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}}$. On note $A = \Sum_{n=1}^{+\infty} a_n$.\\
  1. Montrer que $\Sum u_n$ converge et qu’en notant $U = \Sum_{n=1}^{+\infty} u_n$, on a $U \leqslant eA$.\\
  2. Montrer que $e$ est optimal, autrement dit que si $k$ est un réel vérifiant $U \leqslant kA$ pour toute série convergente $\Sum a_n$, alors $k \geqslant e$.
Exercice 1954. \\
  1. Déterminer un équivalent de $\Sum_{k=1}^n \Frac{1}{k^\alpha}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, dans le cas où $\alpha \leqslant 1$.\\
  2. Même question pour $\Sum_{k=n+1}^{+\infty} \Frac{1}{k^\alpha}$ lorsque $\alpha > 1$.\\
  3. Même question pour $\Sum_{k=1}^n \Frac{\ln k}{k}$.
Exercice 1955. Soit $(u_n)_{n \geqslant 1}$ une suite réelle à termes strictement positifs. On considère les deux suites $(v_n)_{n \geqslant 1}$ et $(w_n)_{n \geqslant 1}$ définies par :\\ $\forall n \in \mathbb{N}^*$, \[ v_n=\Frac{1}{n u_n}\Sum_{k=1}^n u_k \qquad et \qquad w_n=\Frac{1}{n^2 u_n}\Sum_{k=1}^n k u_k. \] On suppose que $(v_n)$ converge vers un réel $a$.\\
  1. Montrer que si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_n \geqslant 0$ et $b_n \geqslant 0$, $a_n \sim_{n\to+\infty} b_n$ et si $\Sum a_n$ diverge, alors\\ \[ \Sum_{k=1}^n a_k \sim_{n\to+\infty} \Sum_{k=1}^n b_k. \]
  2. Montrer que la série de terme général $u_n$ est divergente.\\
  3. Déterminer, en fonction de $a$, la limite de la suite $(w_n)_{n \geqslant 1}$.\\
Exercice 1956. Soit $\Sum a_n$ une série convergente à termes strictement positifs.\\ À quelle condition existe-t-il une suite $(b_n)$ de réels strictement positifs telle que\\ \[ \Sum \Frac{a_n}{b_n} \qquad\mathrm{et}\qquad \Sum b_n \quad \mathrm{convergent ?} \]
Exercice 1957. Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs.\\
  1. Pour tout $n \in \N$, on pose\\ \[ v_n=\Frac{u_n}{1+u_n}. \] Montrer que $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ sont de même nature.\\
  2. Même question avec\\ \[ v_n=\Frac{u_n}{u_1+\cdots+u_n}. \] On pourra étudier $\ln(1-v_n)$ dans le cadre de la divergence.
Exercice 1958. Soit $(u_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de réels positifs.\\ On considère la suite $(v_n)$ définie par\\ \[ v_n=\Frac{1}{n(n+1)}\Sum_{k=1}^{n}ku_k. \] Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ ont même nature et qu'en cas de convergence\\ \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}u_n=\Sum_{n=1}^{+\infty}v_n. \]
Exercice 1959. Soit $\Sum a_n$ une série à termes strictement positifs convergente.\\ Établir la convergence de la série $\Sum a_n^{1-\frac{1}{n}}$.
Exercice 1960. Soit $\Sum a_n$ une série à termes positifs convergente.\\ Peut-on préciser la nature de la série de terme général $u_n=a_0a_1\cdots a_n$ ?
Exercice 1961. Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.\\ On suppose que la suite de terme général $\Sum_{k=1}^{n}u_k-nu_n$ est bornée.\\ Montrer que la série de terme général $u_n$ converge.
Exercice 1962. Soient $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites de réels strictement positifs.\\
  1. On suppose qu'à partir d'un certain rang\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \Frac{v_{n+1}}{v_n}. \] Montrer que $u_n=O(v_n)$ lorsque $n\to+\infty$.\\
  2. On suppose que\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}\sim 1-\Frac{\alpha}{n}+o\parenthese{\Frac{1}{n}} \quad\mathrm{avec}\quad \alpha > 1. \] Montrer, à l'aide d'une comparaison avec une série de Riemann, que la série $\Sum u_n$ converge.\\
  3. On suppose cette fois-ci que\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}\sim 1-\Frac{\alpha}{n}+o\parenthese{\Frac{1}{n}} \quad\mathrm{avec}\quad \alpha < 1. \] Montrer que la série $\Sum u_n$ diverge.
Exercice 1963. \\
  1. Soient $(u_n)_{n\geqslant 0}$ et $(v_n)_{n\geqslant 0}$ deux suites réelles, $\lambda \in \R$.\\ On suppose : $u_n \geqslant 0$, $\Sum |v_n|$ converge et\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\Frac{\lambda}{n}+v_n. \] Montrer que $(n^\lambda u_n)$ converge.\\
  2. Nature de la série de terme général\\ \[ \Frac{n^n}{n!e^n}. \]
Exercice 1964. Soient\\ \[ u_n=\Frac{1}{3^n n!}\Prod_{k=1}^{n}(3k-2) \quad\mathrm{et}\quad v_n=\Frac{1}{n^{3/4}}. \]
  1. Montrer que pour $n$ assez grand,\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant \Frac{v_{n+1}}{v_n}. \]
  2. En déduire que $\Sum u_n$ diverge.
Exercice 1965. Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive et convergeant vers $0$.\\ On pose $v_n=\Frac{u_{n+1}}{S_n}$ avec $S_n=\Sum_{k=0}^{n}u_k$.\\ Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ ont même nature.
Exercice 1966. Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ une suite de réels strictement positifs.\\ On pose, pour $n \in \N^*$, $v_n=\Frac{u_n}{S_n}$ où $S_n=u_1+\cdots+u_n$.\\ Déterminer la nature de $\Sum v_n$.
Exercice 1967. Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général $u_n$ converge.\\ On note le reste d’ordre $n$\\ \[ R_n=\Sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k. \] Étudier la nature des séries de termes généraux $\Frac{u_n}{R_n}$ et $\Frac{u_n}{R_{n-1}}$.
Exercice 1968. Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs et $S_n=\Sum_{k=0}^{n}a_k$.\\
  1. On suppose que la série $\Sum a_n$ converge, donner la nature de $\Sum \Frac{a_n}{S_n}$.\\
  2. On suppose que la série $\Sum a_n$ diverge, montrer\\ \[ \forall n \in \N^*,\;\;\Frac{a_n}{S_n^2}\leqslant \Frac{1}{S_{n-1}}-\Frac{1}{S_n}. \] En déduire la nature de $\Sum \Frac{a_n}{S_n^2}$.\\
  3. On suppose toujours la divergence de la série $\Sum a_n$.\\ Quelle est la nature de $\Sum \Frac{a_n}{S_n}$ ?
Exercice 1969. Soient $(u_n)$ une suite décroissante de réels positifs et $\alpha$ un réel positif.\\ On suppose la convergence de la série $\Sum n^\alpha u_n$.\\ Montrer $n^{\alpha+1}u_n \to 0$.
Exercice 1970. Soient $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de termes positifs puis $\sigma:\N\to\N$ une bijection.\\ Montrer que les séries $\Sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ et $\Sum_{n=0}^{+\infty}u_{\sigma(n)}$ sont de même nature et qu’en cas de convergence, elles ont la même somme.
Exercice 1971. Soit $(a_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de réels positifs ou nuls telle que la série $\Sum_{n \geqslant 1} a_n$ converge.\\
  1. Montrer que si $\alpha > \Frac{1}{2}$, la série $\Sum_{n \geqslant 1}\Frac{\sqrt{a_n}}{n^{\alpha}}$ converge.\\
  2. Que dire dans le cas $\alpha=\Frac{1}{2}$ ?

Exercice 1972. X

\\ Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite croissante de réels positifs qui tend vers l'infini.\\ Construire une suite $(u_n)_{n \in \N}$ de réels positifs, telle que $\Sum u_n$ converge et $\Sum a_nu_n$ diverge.

Exercice 1973. X

\\ Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite de réels strictement positifs. On considère la suite $(\alpha_n)_{n \in \N}$ définie par le choix de $\alpha_0$ et $\alpha_1$ dans $]0,+\infty[$ et la relation de récurrence $\alpha_{n+1}=\alpha_n+a_n\alpha_{n-1}$ pour $n \geqslant 1$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la suite $(a_n)_{n \in \N}$ pour que la suite $(\alpha_n)_{n \in \N}$ converge.

Exercice 1974. X

\\ Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites réelles strictement positives. On suppose que $\Sum b_n$ diverge, et que\\ \[ \limn \parenthese{\Frac{1}{b_n}\Frac{a_n}{a_{n+1}}-\Frac{1}{b_{n+1}}}=\ell \] Montrer que si $\ell > 0$, $\Sum a_n$ converge et que si $\ell < 0$, $\Sum a_n$ diverge.
Exercice 1975. Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite de réels strictement positifs qui décroît vers $0$. Étudier la nature de la série $\Sum \Frac{a_n-a_{n+1}}{a_n}$.
Exercice 1976. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Montrer que si la série $\Sum u_n$ converge, alors la suite $(nu_n)_{n \in \N}$ tend vers $0$.
Exercice 1977. Soit $(u_n)_{n \geqslant 1}$ une suite réelle décroissante, qui converge vers $0$.\\
  1. Soit $p \geqslant 2$ un entier. Établir l'équivalence :\\ \[ \Sum u_n\;\;\mathrm{converge}\;\;\Longleftrightarrow\;\;\Sum p^n u_{p^n}\;\;\mathrm{converge}. \] C'est le critère de condensation de Cauchy.\\
  2. Montrer que si $\Sum u_n$ diverge, alors $\Sum \min(u_n,\Frac{1}{n})$ diverge aussi.
Exercice 1978. Déterminer la nature de la série $\Sum \Frac{1}{p_n}$ où $p_n$ est le $n$-ième entier naturel non nul dont l'écriture décimale ne comporte pas de $9$.
Exercice 1979. \\ Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$.\\
  1. Quelle est la nature de la série $\Sum \Frac{\sigma(n)}{n^2}$ ?\\
  2. Même question avec $\Sum \Frac{\sigma(n)}{n^2\ln n}$.\\
  3. Même question avec $\Sum \Frac{\sigma(n)}{n^3}$.