Exercices divers

Exercice 1657. Soit $\Sum u_n$ une série à termes positifs. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ \\ \[ v_n = \Frac{1}{1 + n^2 u_n}. \] Si la série $\Sum u_n$ converge, déterminer la nature de la série $\Sum v_n$. Que peut-on dire si la série $\Sum u_n$ diverge ?

Exercice 1658. Soit $(a_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de nombres complexes telle que la série $\Sum_{n \geqslant 1} \Frac{a_n}{n}$ converge absolument. On suppose que \\ \[ \forall k \in \mathbb{N}^\ast,\quad \Sum_{n=1}^{+\infty} \Frac{a_n}{n^k} = 0. \] Que peut-on dire de la suite $(a_n)_{n \geqslant 1}$ ?

Exercice 1659. Soit $\Sum u_n$ une série à termes $>0$. On note pour tout $n \in \mathbb{N}^\ast$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n} u_k$. \\

1. Soit $\alpha > 1$. Montrer que la série $\Sum \Frac{u_n}{S_n^\alpha}$ converge. \\
2. Soit $\alpha \leqslant 1$. On suppose que la série $\Sum u_n$ diverge. Montrer que la série $\Sum \Frac{u_n}{S_n^\alpha}$ diverge. \\ On pourra utiliser le critère de Cauchy : si $(v_n)_n$ est une suite de réels, la série $\Sum v_n$ converge si et seulement si \\ $\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall p > q \geqslant N,\; \Abs{\Sum_{k=q}^{p} v_k} \leqslant \varepsilon$.