Nature de series

Exercice 1184. Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme.\\
  1. $\Sum_{k \geqslant 1} k \parenthese{\Frac{1}{4}}^{k-1}$\\
  2. $\Sum_{k \geqslant 0} k(k-1)\Frac{1}{4^k}$\\
  3. $\Sum_{n \geqslant 0} \Frac{(-1)^n}{(n+2)!}$\\
  4. $\Sum_{n \geqslant 0} \Frac{n^2+n+1}{n!}$
Exercice 1185. Étudier la nature de la série de terme général $u_n$ dans les cas suivants.\\
  1. $u_n=\Frac{\ln n}{n^2}$\\
  2. $u_n=\Frac{1}{\sqrt{n}(n^2+1)}$\\
  3. $u_n=\ln\!\parenthese{\Frac{2+\sin\!\parenthese{\Frac{1}{n}}}{2-\sin\!\parenthese{\Frac{1}{n}}}}$\\
  4. $u_n=\Frac{1}{n^2+\sin(n^6)}$\\
  5. $u_n=\parenthese{\Frac{n-1}{n}}^{n\sqrt{n}}$\\
  6. $u_n=\Frac{(-1)^n\cos(n)}{n^2\sqrt{n}}$\\
  7. $u_n=\Frac{n+e^{-2n}}{n^4+n^2+1}$\\
  8. $u_n=(-1)^n n e^{-n}$
Exercice 1186. Pour chaque série déterminer sa convergence et sa somme le cas échéant : \\
  • $\Sum \Frac{2^n+1}{3^n}$ \\
  • $\Sum \Frac{1}{2^{2n+4}}$ \\
  • $\Sum \ln\parenthese{\Frac{n+1}{n-1}}$
Exercice 1187. En calculant les sommes partielles, déterminer si les séries suivantes sont convergentes :\\
  1. $\Sum_{n \geqslant 2} \Frac{\ln\!\parenthese{1+\Frac{1}{n}}}{\ln(n)\ln(n+1)}$\\
  2. $\Sum_{n \geqslant 2} \ln\!\parenthese{1-\Frac{1}{n^2}}$\\
  3. $\Sum_{n \geqslant 0} \arctan\!\parenthese{\Frac{1}{n^2+n+1}}$\\
Indication : Si $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$, $\arctan(a)-\arctan(b)=\arctan\!\parenthese{\Frac{a-b}{1+ab}}$.
Exercice 1188. Nature de la série de terme général $u_n = \ln\parenthese{1+\Frac{1}{n}}$ pour $n \geqslant 1$.
Exercice 1189. Convergence et somme de la série de terme général $u_n = \ln\parenthese{1+\Frac{(-1)^n}{n}}$ pour $n \geqslant 2$.

Exercice 1190. Série géométrique

\\ Montrer que la série $\Sum \Frac{1}{2^n}$ converge et calculer sa somme.

Exercice 1191. Lien suite-série

\\ Soit $(a_n)$ une suite positive. Pour $n \in \N$ on pose $b_n = \Frac{a_n}{\Prod_{k=0}^{n}(1+a_k)}$. \\ Montrer que la série $\Sum b_n$ converge.

Exercice 1192. Comparaison de série

\\ Nature de $\Sum \Frac{\arctan(n^2)}{4^n}$.

Exercice 1193. Comparaison de série

\\ Nature de la série $\Sum \Frac{1}{(\ln(n))^n}$.

Exercice 1194. Equivalents

\\ Nature de $\Sum \ln\parenthese{1+\Frac{1}{2^{n}}}$.

Exercice 1195. Equivalents n°2

\\ Nature de la série $\Sum(1-3^n\sin{\frac{1}{3^n}})$.

Exercice 1196. HEC 2014

\\ Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $u_n = \ln(n)+a\ln(n+1)+b\ln(n+2)$. \\
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la série de terme général $u_n$ soit convergente. \\
  2. Calculer alors la somme de cette série.