Nature de series

Exercice 1641. Equivalents

\\ Nature de $\Sum \ln\parenthese{1+\Frac{1}{2^{n}}}$.
Exercice 1642. Nature de la série de terme général $u_n = \ln\parenthese{1+\Frac{1}{n}}$ pour $n \geqslant 1$.
Exercice 1643. Étudier la nature de la série de terme général $u_n$, avec \\
  1. $u_n = \Frac{3^n - n^2}{5^n - 2^n}$, $n \geqslant 1$. \\
  2. $u_n = \Frac{(-1)^n \ln(n)}{n}$, $n \geqslant 1$. \\
  3. $u_n = \parenthese{\Frac{1}{2}}^{\sqrt{n}}$, $n \geqslant 0$.
Exercice 1644. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels positifs. \\
  1. Montrer que la fonction $x \mapsto \Frac{x}{1+x}$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$. \\
  2. Montrer que les séries $\Sum u_n$ et $\Sum \Frac{u_n}{1+u_n}$ sont de même nature.
Exercice 1645. Soient $\Sum u_n$ et $\Sum v_n$ deux séries de termes positifs convergentes. \\ Montrer que les séries $\Sum \sqrt{u_n v_n}$ et $\Sum \max(u_n,v_n)$ convergent.

Exercice 1646. Comparaison de série

\\ Nature de $\Sum \Frac{\arctan(n^2)}{4^n}$.

Exercice 1647. Comparaison de série

\\ Nature de la série $\Sum \Frac{1}{(\ln(n))^n}$.

Exercice 1648. Equivalents n°2

\\ Nature de la série $\Sum\parenthese{1-3^n\sin{\frac{1}{3^n}}}$.
Exercice 1649. Si $n \geqslant 1$, on pose $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n}$ et $v_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n+1}$. \\
  1. Justifier que la série $\Sum_{k \geqslant 1} \Frac{1}{\sqrt{k}}$ diverge. On se propose de trouver un équivalent de la suite des sommes partielles. \\
  2. Montrer que les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont adjacentes. \\
  3. En déduire un équivalent de $\Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}}$ lorsque $n \longrightarrow +\infty$.
Exercice 1650. Soit $\alpha > 0$. On pose, pour $n \geqslant 1$, \\ \[ u_n = \Sum_{k=n+1}^{+\infty} \Frac{(-1)^k}{k^\alpha}. \] Justifier que la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ est bien définie, puis montrer la convergence de la série $\Sum_{n \geqslant 1} u_n$.

Exercice 1651. Lien suite-série

\\ Soit $(a_n)$ une suite positive. Pour $n \in \N$ on pose $b_n = \Frac{a_n}{\Prod_{k=0}^{n}(1+a_k)}$. \\ Montrer que la série $\Sum b_n$ converge.

Exercice 1652. ENS Cachan MP

\\ Soit $(a_n)_{n \geqslant 0}$ dans $\mathbb{R}^n$ telle que, pour toute suite $(b_n)_{n \geqslant 0} \in \mathbb{R}^n$ de limite nulle, la série de terme général $a_n b_n$ est convergente. \\ Montrer que la série de terme général $a_n$ est absolument convergente.