Sens de variations, tableaux, extremums

Exercice 180. Déterminer le sens de variations de $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \Frac{-2x}{x^2+1}$.
Exercice 181. Déterminer le sens de variations de $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x^2-5x+6)e^x$.
Exercice 182. Déterminer le tableau de variations de $g$ définie sur $\Rpe$ par $g(x) = (1-2x)^3$.
Exercice 183. Soit $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = \Frac{x^2+4}{\sqrt{2x}}$.\\
  1. Montrer que $\forall x>0$, $f'(x) = \Frac{3x^2-4}{2x\sqrt{2x}}$. \\
  2. Dresser le tableau de variation de $f$ et montrer qu'elle admet un extremum.

Exercice 184. Déduire un signe

\\ Démontrer que $g$ définie par $g(t) = 1+e^t+te^t$ admet un minimum sur $\R$ puis en déduire le signe de $g$ sur $\R$.

Exercice 185. Déduire un signe n°2

\\ Soit $f(x) = x+1+\Frac{x}{e^x}$ et $g(x) = 1-x+e^x$. \\
  1. Dresser le tableau de variations de $g$. \\ En déduire le signe de $g(x)$ sur $\R$. \\
  2. Démontrer que $f'(x) = e^{-x}g(x)$ puis en déduire le tableau de variations de $f$.

Exercice 186. Famille de fonctions

\\ Pour tout réel $k > 0$, on considère la fonction $f_k$ définie sur $\R$ par $f_k(x) =kxe^{-kx}$.\\
  1. Montrer que $f_k$ admet un maximum puis calculer ce maximum. \\
  2. Ecrire une équation de la tangente à $\mathscr{C}_k$ au point $O$ oirigine du repère.

Exercice 187. Distance minimale

\\ Soit $f(x) = 5e^{-x}-3e^{-2x}+x-3$ et $g(x) = f(x)-(x-3)$. \\ Soit $d$ la droite d'équation $y=x-3$. \\ On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\Cf$ et $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $d$. \\
  1. Justifier que la distance $MN$ est égale à $g(x)$, pour tout $x \in \Rp$. \\
  2. Montrer que $g$ possède un maximum sur $\Rp$ puis donner une interprétation graphique.
Exercice 188. Soit $f_n$ la fonciton définie pour tout $n \in \N^*$ et pour tout $x \in \Rp$ par $f_n(x) = x^ne^{-x^2}$.\\ Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $f_n$ admet un maximum pour $x= \sqrt{\Frac{n}{2}}$.

Exercice 189. Inégalité classique

\\ Montrer que pour tout réel $x \geqslant 0$, $\sin{x} \leqslant x$.
Exercice 190. Soit $f : x \mapsto \Frac{e^{3x}}{e^x-x}$. \\ Montrer que $\mathcal{D}_f = \R$.