Exercices divers

Exercice 1131. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$. \\

1. Calculer $A^2 + 2A$. En déduire que $A$ est inversible, préciser son inverse. \\
2. Soit $n \in \N$. Trouver le reste dans la division euclidienne de $X^n$ par $X^2 + 2X - 3$. \\ En déduire $A^n$.

Exercice 1132. Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que \[ \mathrm{Tr}(A^\top A) = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{ij}^2. \] Que peut-on en déduire si $\mathrm{Tr}(A^\top A) = 0$ ?