Bornes inferieures, supérieures, réels

Exercice 925. Les parties de $\R$ suivantes sont-elles minorées, majorées, bornées ? Admettent-elles un plus grand élément ? Une borne inférieure ? Supérieure ?\\
  1. $A = [0,2[$. \\
  2. $B = \{n^2, n \in \Z\}$. \\
  3. $C = \{ \frac{1}{n+1}, \; n \in \N\}$. \\
  4. $D = \{\arctan{n}, \; n \in \N\}$. \\
  5. $E = \{\frac{(-1)^n}{n+1}, \;\; n \in \N\}$.\\
  6. $F = \{ \sin{n}, \; n \in \N\}$.
Exercice 926. Soit $X = \left\{\Frac{x+1}{x+2}, \; x \in \R, x \leqslant -3\right\}$. \\ Montrer que $X$ admet une borne inférieure et une borne supérieure.
Exercice 927. Soit $X = \left\{ \Frac{2p}{2pq+3}, \; p,q \in \N^* \right\}$. \\ Déterminer les bornes supérieures et inférieures de $X$ s'il y en a.
Exercice 928. Pour chacun des cas, déterminer s'il y a une borne inférieure, supérieure et si oui les déterminer : \\
  1. $A = \left\{ \Frac{2^n}{2^n-1}, n \in \N^*\right\}$. \\
  2. $B = \left\{ \Frac{1}{1-2^{-n}}, n \in \N^* \right\}$. \\
  3. $C = \left\{ \Frac{x^3}{\abs{x^3-1}}, x \in ]0,1[\cup]1,+\infty[\right\}$.
Exercice 929. Soit $X = \left\{\Frac{1}{p}+\Frac{1}{q}, \; p,q \in \N^*\right\}$. \\
  1. Montrer que $X$ est majoré et minoré. \\
  2. Montrer que $X$ possède une borne inférieure et supérieure.
Exercice 930.
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et $m \in \N^*$, $0 < \Frac{mn}{(m+n)^2} \leqslant \Frac{1}{4}$. \\
  2. En déduire que $A = \left\{ \Frac{mn}{(m+n)^2}, \; n \in \N^*, m \in \N^* \right\}$ admet une borne inférieur que l'on déterminera.
Exercice 931. Soit $X = \left\{\Frac{(-1)^n}{n}+\Frac{2}{n}, n \in \N^* \right\}$. \\
  1. Montrer que $X$ est minoré et majoré. \\
  2. Montrer que $X$ admet un plus grand élément. \\
  3. Montrer que $X$ admet une borne supérieure et inférieure.
Exercice 932. Soit $X = \left\{ \Frac{2xy}{x^2+y^2}, x \in \R^*, y \in \R^*\right\}$. \\ Montrer que $X$ admet une borne inférieure et supérieure. Sont-elles des maximum/minimum ?
Exercice 933. Soit $A \subset \R$ et $B = \{y = -x, \; x \in A\}$. \\
  1. Montrer que $B$ est minoré $\iff$ $A$ est majoré. \\
  2. En supposant que $A$ est majoré, montrer que $B$ admet une borne inférieure et $\inf(B) = -\sup(A)$.
Exercice 934. Soit $A \subset \R$ une partie non vide et majorée de $\R$. On suppose que $M$ est un majorant de $A$, et qu'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ telle que $a_n \to M$. \\ Montrer que $M = \sup(A)$.
Exercice 935. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. \\ On note $A+B = \{a+b, \; (a,b) \in A \times B \}$. \\ Montrer que $\sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)$.
Exercice 936. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. \\ Montrer que $\sup(A \cup B) = \max(\sup(A), \sup(B))$.
Exercice 937. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $\R$. \\ On suppose que pour tout $(a,b) \in A \times B$, $a \leqslant b$. \\ Montrer que $\sup(A) \leqslant \inf(B)$.

Exercice 938. Densité de $\Q$ dans $\R$

\\ On va montrer que $\Q$ est dense dans $\R$. Soit $a,b \in \R$ tels que $a < b$. On cherche à prouver l'existence d'un rationnel $r$ entre $a$ et $b$ : \[ a < r < b \]
  1. On suppose que $b-a>1$. Déterminer un $r \in \Q$ qui convient. \\
  2. On suppose maintenant que $b-a<1$. Déterminer $q \in \N^*$ tel que $q(b-a)>1$ puis conclure.