Suites récurrentes linéaires

Exercice 1001. Donner l'expression du terme général, et la limite de la suite $\un$ définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = 2u_n + 1$.
Exercice 1002. Donner l'expression du terme général de la suite $\un$ définie par $u_0 = 1$, $u_1 = 0$ et $u_{n+2} = 4u_{n+1}-4u_n$.
Exercice 1003. Déterminer l'expression du terme général de $\un$ définie par $u_0 = 1$, $u_1 = -1$ et $2u_{n+2} = 3u_{n+1}-u_n$.
Exercice 1004. Déterminer les fonctions $f : \Rpe \to \Rpe$ telles que $\forall x > 0$, $f(f(x)) = 6x-f(x)$.
Exercice 1005. Soit $(F_n)$ la suite définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et pour tout $n \in \N$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.\\
  1. Donner une forme explicite de $(F_n)$.\\
  2. Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \Frac{F_{n+1}}{F_n}$.
Exercice 1006. Donner l’expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle $(u_n)_{n \in \N^*}$ définie par \\ \[ \begin{cases} u_1 = \Frac{1}{2} \\ \forall n \in \N^*, \; u_{n+1} = \Frac{u_n+1}{2} \end{cases} \]
Exercice 1007. Donner l’expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle $(u_n)_{n \in \N}$ définie par \\ \[ \begin{cases} u_0 = 1, \; u_1 = 0 \\ \forall n \in \N, \; 4u_{n+1} = 4u_n - u_{n+2} \end{cases} \]
Exercice 1008. Donner une forme explicite et la limite de la suite $(u_n)$ définie par la relation \[ u_{n+1}=\sqrt{8+\Frac{u_n^2}{2}}. \] \\ Indication : On pourra poser $v_n = u_n^2$.\\
Exercice 1009. Considérons la fonction $f:x \mapsto \Frac{1}{1+x}$ définie sur $[0,2]$, ainsi que la suite $(u_n)$ définie par \\ \[ \begin{cases} u_0 = 0 \\ \forall n \in \N, \; u_{n+1}=f(u_n) \end{cases} \] \\
  1. Montrer qu’il existe deux suites $(p_n)$, $(q_n)$ d’entiers non nuls telles que pour tout $n \in \N$, $u_n=\Frac{p_n}{q_n}$.\\
  2. Déterminer une expression explicite de $(p_n)$ et $(q_n)$. En déduire une expression explicite de $(u_n)$.\\
  3. Montrer que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.