Familles libres, génératrices, bases

Exercice 3740. Soient $E$ un $\R$-ev, $n\in\N^*$, $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de $E$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ des réels, $u$ le vecteur défini par $u=\Sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i$, et pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $v_i=u+e_i$.\\ À quelle condition sur $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ la famille $(v_k)_{k\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ est-elle liée ?
Exercice 3741. Soient $(e_1,\dots,e_n)$ et $(e_1',\dots,e_n')$ deux bases d’un $\R$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer qu’il existe $j\in\{1,\dots,n\}$ tel que la famille \[ (e_1,\dots,e_{n-1},e_j') \] soit encore une base de $E$.
Exercice 3742. On considère les vecteurs de $\mathbb{R}^3$ \[ u=(1,1,1)\quad \mathrm{et}\quad v=(1,0,-1). \] Montrer \[ \mathrm{Vect}(u,v)=\{(2\alpha,\alpha+\beta,2\beta)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}. \]
Exercice 3743. Dans $\mathbb{R}^3$, on considère \[ x=(1,-1,1)\quad \mathrm{et}\quad y=(0,1,a)\quad \mathrm{o\grave{u}}\quad a\in\mathbb{R}. \] Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que \[ u=(1,1,2) \] appartienne à $\mathrm{Vect}(x,y)$.\\ Comparer alors $\mathrm{Vect}(x,y)$, $\mathrm{Vect}(x,u)$ et $\mathrm{Vect}(y,u)$.
Exercice 3744. Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n$ tels que $a_1 < \cdots < a_n$.\\ La famille d’applications $(f_{a_i})_{1\leqslant i\leqslant n}$ est-elle libre ou est-elle liée, dans les exemples suivants :\\
  1. $f_{a_i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto |x-a_i|$.\\
  2. $f_{a_i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto e^{a_i x}$.\\
  3. $f_{a_i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto \cos(x+a_i)$, pour $n\geqslant 3$.\\
  4. $f_{a_i}:\mathbb{R}\setminus\{a_1,\ldots,a_n\}\to\mathbb{R},\;x\mapsto \Frac{1}{x-a_i}$.\\
Exercice 3745. On pose $f_1,f_2,f_3,f_4:[0;2\pi]\to\mathbb{R}$ définies par :\\ \[ f_1(x)=\cos x,\quad f_2(x)=x\cos x,\quad f_3(x)=\sin x,\quad f_4(x)=x\sin x. \] Montrer que la famille $(f_1,f_2,f_3,f_4)$ est libre.
Exercice 3746. Montrer que les familles suivantes sont libres :\\ $\big(f_a:x\mapsto \exp(ax)\big)_{a\in\R}$\\ $\big(f_a:x\mapsto |x-a|\big)_{a\in\R}$\\ $(P_1,\dots,P_n)$ avec \[ P_i(X)=\Prod_{k=1,\;k\neq i}^{n}\frac{X-\alpha_k}{\alpha_i-\alpha_k} \] avec les $\alpha_k$ tous différents dans $\R$\\ $(P_1,\dots,P_n)$ avec \[ P_i(X)=(X-1)^i(X+2)^{n-i} \]
Exercice 3747. Soient $n\in\N^*$, puis $z_1,\dots,z_n$ différents dans $\C$ et enfin $P(X)$ un polynôme complexe de degré $n-1$. Montrer que la famille \[ \big(P(X+z_1),\dots,P(X+z_n)\big) \] est une base de $\C_{n-1}[X]$.
Exercice 3748. Soient $z_1,\dots,z_d$ des nombres complexes tels que \[ \lim_{N\to+\infty}\sum_{k=1}^{d}z_k^N=0. \] Montrer que ces nombres complexes sont de module strictement inférieur à $1$.
Exercice 3749. Soit $n\in\N$.\\
  1. Montrer qu’il existe un seul polynôme $P_n(X)\in\R[X]$ tel que \[ P_n(X)+P_n(X+1)=2X^n. \]
  2. Trouver une formule entre $P_{n+1}(X)$ et $P_n(X)$.\\
    1. Montrer que la famille $(P_k)_{k\in\N}$ forme une base de $\R[X]$.\\
    2. Montrer que pour tout $Q(X)\in\R[X]$, on a \[ Q(X+1)=\sum_{k=0}^{+\infty}\Frac{Q^{(k)}(X)}{k!}. \]
    3. Donner la décomposition de $P_n(X+1)$ dans la base $(P_k)_{k\in\N}$.
  4. Montrer que \[ P_n(1-X)=(-1)^nP_n(X). \]
Exercice 3750. Soit $E=\R^{\R}$.\\ Pour tout $n\in\N$, on pose $f_n:x\mapsto x^n$.\\
  1. Montrer que $(f_0,\dots,f_n)$ est libre.\\
  2. En déduire $\dim E$.
Exercice 3751. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ On pose \[ \varepsilon_1=e_2+2e_3,\qquad \varepsilon_2=e_3-e_1,\qquad \varepsilon_3=e_1+2e_2. \] Montrer que $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ est une base de $E$.
Exercice 3752. Soit $E=\R^{\R}$.\\ Pour tout $n\in\N$, on pose $f_n:x\mapsto x^n$.\\
  1. Montrer que $(f_0,\dots,f_n)$ est libre.\\
  2. En déduire $\dim E$.
Exercice 3753. On pose \[ e_1=(1,1,1),\qquad e_2=(1,1,0),\qquad e_3=(0,1,1). \] Montrer que $B=(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\R^3$.
Exercice 3754. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ On pose \[ \varepsilon_1=e_2+2e_3,\qquad \varepsilon_2=e_3-e_1,\qquad \varepsilon_3=e_1+2e_2. \] Montrer que $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ est une base de $E$.
Exercice 3755. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ Soit \[ \varepsilon_1=e_1+2e_2+2e_3,\qquad \varepsilon_2=e_2+e_3. \] Montrer que la famille $(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$ est libre et compléter celle-ci en une base de $E$.
Exercice 3756. Pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n$, on pose $f_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la fonction définie par\\ \[ f_k(x)=e^{kx}. \] Montrer que la famille $(f_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ est une famille libre de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 3757. Soit $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ et $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K$.\\ On pose\\ \[ \vec{u}=\alpha_1\vec{x}_1+\cdots+\alpha_n\vec{x}_n \] et, pour tout $i\in\{1,\ldots,n\}$,\\ \[ \vec{y}_i=\vec{x}_i+\vec{u}. \] À quelle condition sur les $\alpha_i$ la famille $(\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_n)$ est-elle libre ?
Exercice 3758. Soit $(e_1,\ldots,e_p)$ une famille libre de vecteurs de $E$.\\ Montrer que pour tout $a\in E\setminus \mathrm{Vect}(e_1,\ldots,e_p)$, la famille $(e_1+a,\ldots,e_p+a)$ est libre.
Exercice 3759. Soit $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$.\\ Les fonctions \[ x\mapsto \sin(x+a),\quad x\mapsto \sin(x+b),\quad x\mapsto \sin(x+c) \] sont-elles linéairement indépendantes ?
Exercice 3760. Pour $a\in\mathbb{R}$, on note $f_a$ l’application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par \[ f_a(x)=|x-a|. \] Montrer que la famille $(f_a)_{a\in\mathbb{R}}$ est une famille libre d’éléments de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 3761. Pour $a\in\mathbb{R}_+$, on note $f_a$ l’application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par \[ f_a(t)=\cos(at). \] Montrer que la famille $(f_a)_{a\in\mathbb{R}_+}$ est une famille libre d’éléments de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 3762. Pour $k\in\{0,\ldots,n\}$, on pose \[ P_k=(X+1)^{k+1}-X^{k+1}. \] Montrer que la famille $(P_0,\ldots,P_n)$ est une base de $K_n[X]$.
Exercice 3763. Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels et en déterminer une base :\\ $F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+y+3z=0 \; \mathrm{et} \; x+3y-z=0\}$\\ $F$ inclus dans $\C^5$ d’équations : \[ \begin{cases} x_1+x_3-x_5=0\\ x_1+x_4-2x_5=0\\ 2x_2+x_3-x_4+4x_5=0 \end{cases} \] $F=\left\{P(X)\in\R_d[X]\mid \Sum_{k=0}^{d}P(X+k)=0\right\}$\\ $F=\left\{z\in\C^d\mid \Sum_{k=1}^{d}(-1)^kz_k=0\right\}$\\ $F=\left\{u\in\C^\N\mid \forall n\in\N,\; \Sum_{k=0}^{d}u_{n+k}=0\right\},\; \mathrm{où}\; d\in\N^*$\\ $F=\left\{y\in\mathcal{C}^\infty(\R,\R)\mid \Sum_{k=0}^{d}y^{(k)}=0\right\},\; \mathrm{où}\; d\in\N^*$
Exercice 3764. On note $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto x+1$ et $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto x^2$.\\ Quel est le rang de la famille \[ \mathcal{A}=(f,g,f\circ f,f\circ g,g\circ f,g\circ g)\;? \]
Exercice 3765. Liberté des familles suivantes :\\
  1. $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$, où $f_k:x\mapsto e^{kx}$, dans $C^0(\R)$ (on demande trois méthodes différentes)\\
  2. $(X^k(1-X)^{n-k})_{0\leqslant k\leqslant n}$, dans $\mathbb{K}[X]$\\
  3. $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$, où $f_k:x\mapsto r_k^x$, où $0
Exercice 3766. Étudier la liberté des familles suivantes (dans le $\R$-ev des fonctions de $\R$ dans $\R$) :\\
  1. $(\varphi_a,\varphi_b)$, $(a,b)\in\R^2$, où pour tout $a\in\R$, $\varphi_a:x\mapsto \sin(x+a)$.\\
  2. $(\varphi_a,\varphi_b,\varphi_c)$, $(a,b,c)\in\R^3$.\\
  3. $(f_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$, $f_k:x\mapsto \cos^k x$.\\
  4. Idem pour $(f_k)_{k\in\N^*}$.\\
  5. $(f_n)_{n\in\N}\cup(g_n)_{n\in\N}$, $f_n:x\mapsto x^n\cos(x)$, $g_n:x\mapsto x^n\sin(x)$.\\
  6. $(f^n)_{n\in\N}$, $f:\R\to\R$ telle que $f(\R)$ soit infini.\\
  7. $(f_k)_{k\in\N}$, $f_k:x\mapsto \cos(x^k)$.
Exercice 3767. Liberté sur $\C$ de la famille $(t\mapsto e^{\mathrm{i}nt})_{n\in\N}$.
Exercice 3768. Soit pour tout $\alpha\in\R$, $f_\alpha:x\mapsto |x-\alpha|$.\\ Montrer que pour tout $\alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_n$, la famille $(f_{\alpha_1},\ldots,f_{\alpha_n})$ est libre.
Exercice 3769. Déterminer une CNS sur les réels $x,y,z$ pour que les trois vecteurs\\ \[ u=(yz,z,y),\qquad v=(z,xz,x),\qquad w=(y,x,xy) \] soient liés.
Exercice 3770. On se place dans $E = \R^3$. \\ Soit \[ F = \{(x,y,z) \in E, \;\; x-2y+z=0 \} \quad et \quad G = Vect((1,1,0)) \] Montrer que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$. \\ Donner une base de $F$ et une base de $G$.
Exercice 3771. Soit $E = \{(x,y,z,t) \in \R^4, \;\; x+y+z+t=0, \; y-z =0, \; 2x+y+3z+2t =0 \}$. \\ Montrer que $E$ est un espace vectoriel et en donner une base.
Exercice 3772. Les familles suivantes sont-elles libres ? \\
  1. $(f_1,f_2,f_3)$ où $f_1 : x \mapsto 1$, $f_2 : x \mapsto \cos(x)$ et $f_3 : x \mapsto \sin(x)$. \\
  2. $(P_1(X),P_2(X),P_3(X),P_4(X))$ avec $P_1(X) =3+3X+X^3$, $P_2(X)=1-X-X^2+X^3$, $P_3(X) = -1-X+X^2+X^3$ et $P_4(X) = X+2X^2+X^3$.
Exercice 3773. Pour chacune des familles suivantes de $\R^3$, dire si elles sont libres, génératrices ; lesquelles sont des bases ?\\ On répondra à ces questions une première fois en revenant systématiquement aux définitions, une deuxième fois en admettant le théorème de la dimension, stipulant que s’il existe une base finie, toutes les bases ont même cardinal.\\
  1. $((1,3,-2),(2,1,0))$\\
  2. $((1,5,6),(2,3,0),(3,8,6),(1,0,0))$\\
  3. $((2,2,1),(1,1,2),(1,1,1))$\\
  4. $((1,2,3),(2,3,4),(3,4,5))$\\
  5. $((1,2,0),(0,1,1),(2,0,1))$
Exercice 3774. Calculer la matrice du vecteur $P=X^3-3X^2+5X-2$ de $\R_3[X]$ dans la base $(1,(X+2),(X+2)^2,(X+2)^3)$.