Exercices divers

Exercice 1177. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer $(A-I)(A-3I)$. \\
  2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)(X-3)$. \\
  3. En déduire la valeur de $A^n$.
Exercice 1178. Soient $(a,b) \in \R^2$ et $P = 2X^4+5X^3+5X^2+aX+b$. \\
  1. Déterminer $a$ et $b$ tels que $P(-1)=P'(-1)=0$. \\ On suppose pour la suite de l'exercice que $a$ et $b$ ont ces valeurs. \\
  2. Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine $-1$ pour $P$. \\
  3. Déterminer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X+1)^2$. \\
  4. Justifier que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X+1)^3$ est $2(X+1)^2$. Que vaut le quotient ? \\ On pourra utiliser la formule de Taylor.