Exercices divers

Exercice 2134. \\
  1. Pour $n \in \mathbb{N}$, développer le polynôme\\ \[ (1+X)(1+X^2)(1+X^4)\cdots(1+X^{2^n}). \]
  2. En déduire que tout entier $p>0$ s’écrit de façon unique comme somme de puissances de $2$ : $1,2,4,8,\ldots$.
Exercice 2135. \\
  1. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction dérivable. On suppose que $f$ s’annule au moins $n$ fois. Montrer que $f'$ s’annule au moins $n-1$ fois.\\
  2. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé à racines simples avec $n=\deg P \geqslant 2$. Montrer que le polynôme $P'$ est lui aussi scindé.\\
  3. Montrer que le résultat perdure même si les racines de $P$ ne sont pas simples.
Exercice 2136. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$.\\ On suppose que $a \in \mathbb{R}$ vérifie\\ \[ P(a)>0 \qquad \mathrm{et} \qquad \forall k \in \mathbb{N}^*,\ P^{(k)}(a)\geqslant 0. \] Montrer que le polynôme $P$ ne possède pas de racines dans $[a;+\infty[$.

Exercice 2137. Polynômes de Lagrange

\\ Soit $(a_0,a_1,\dots,a_n)$ une famille d’éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts.\\ Pour tout $i\in\{0,1,\dots,n\}$ on pose\\ \[ L_i=\Frac{\Prod_{0\leqslant j\leqslant n,\;j\neq i}(X-a_j)}{\Prod_{0\leqslant j\leqslant n,\;j\neq i}(a_i-a_j)}. \]\\
  1. Observer que, pour tout $j\in\{0,1,\dots,n\}$, on a $L_i(a_j)=\delta_{i,j}$.\\
  2. Montrer que pour tout $P\in\mathbb{K}_n[X]$,\\ \[ P(X)=\Sum_{i=0}^{n}P(a_i)L_i(X). \]
Exercice 2138. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ non nul et $n=\deg P$.\\ Montrer que les sommes des zéros de $P,P',\dots,P^{(n-1)}$ sont en progression arithmétique.
Exercice 2139. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé de degré $\geqslant 2$ ; on veut montrer que le polynôme $P'$ est lui aussi scindé.\\
  1. Énoncer le théorème de Rolle.\\
  2. Si $x_0$ est racine de $P$ de multiplicité $m \geqslant 1$, déterminer sa multiplicité dans $P'$.\\
  3. Prouver le résultat énoncé.
Exercice 2140. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer $(A-I)(A-3I)$. \\
  2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)(X-3)$. \\
  3. En déduire la valeur de $A^n$.
Exercice 2141. Trouver tous les polynômes $P \in \mathbb{R}[X]$ tels que\\ \[ \forall k \in \mathbb{Z},\ \integrale{k}{k+1}{P(t)}{t}=k+1. \]

Exercice 2142. Polynômes de Laguerre

\\ Pour $n\in\mathbb{N}$, on définit $L_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ par\\ \[ L_n(x)=e^x\Frac{d^n}{dx^n}\big(e^{-x}x^n\big). \]\\ Observer que $L_n$ est une fonction polynomiale dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.
Exercice 2143. Soient un corps et $a_1,a_2,\dots,a_n \in K$ deux à deux distincts.\\
  1. Calculer\\ \[ \Sum_{i=1}^{n}\Prod_{j\neq i}\Frac{X-a_j}{a_i-a_j}. \]\\
  2. On pose $A(X)=\Prod_{j=1}^{n}(X-a_j)$.\\ Calculer\\ \[ \Sum_{i=1}^{n}\Frac{1}{A'(a_i)}. \]
Exercice 2144. Soit $P\in\mathbb{Z}[X]$ et $a,b$ deux entiers relatifs avec $b>0$ et $\sqrt{b}$ irrationnel.\\
  1. Exemple : montrer que $\sqrt{6}$ est irrationnel.\\
  2. Quelle est la forme de $(a+\sqrt{b})^n$ ?\\
  3. Montrer que si $a+\sqrt{b}$ est racine de $P$ alors $a-\sqrt{b}$ aussi.\\
  4. On suppose que $a+\sqrt{b}$ est racine double de $P$.\\ Montrer que $P=RQ^2$ avec $R$ et $Q$ dans $\mathbb{Z}[X]$.
Exercice 2145. Pour $n\in\mathbb{N}$, on considère les polynômes $F_n=\Frac{1}{2^n n!}(X-1)^n(X+1)^n$, et on pose $P_n=F_n^{(n)}$. Les polynômes $P_n$ sont appelés polynômes de Legendre.\\
  1. Déterminer le degré et le coefficient dominant du polynôme $P_n$.\\
  2. Pour $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, on pose $B_{n,k}=(X+1)^k(X-1)^{n-k}$.\\
    1. Démontrer que $P_n=\Sum_{k=0}^n \Frac{1}{2^n}\binom{n}{k}^2\,B_{n,k}$.\\
    2. En déduire que $P_n(1)=1$ et $P_n(-1)=(-1)^n$.\\
    3. Déterminer la parité de $P_n$.\\
  3. Montrer que $P_n$ possède $n$ racines distinctes dans l’intervalle $]-1,1[$.

Exercice 2146. Centrale

\\
  1. Déterminer trois éléments $a,b,c$ de $\mathbb{C}$, non tous réels, tels que $a+b+c$, $a^2+b^2+c^2$ et $a^3+b^3+c^3$ soient trois réels.\\
  2. Montrer que, si $a,b,c$ sont trois éléments du même module et si $a+b+c\in\mathbb{R}$, $a^2+b^2+c^2\in\mathbb{R}$ et $a^3+b^3+c^3\in\mathbb{R}$, alors $a,b,c$ sont trois réels.\\
Exercice 2147. Soit $(P_n)_{n\geqslant 0}$ la suite de $\mathbb{K}[X]$ définie par\\ \[ P_0=0,\quad P_1=1\quad\mathrm{et}\quad \forall n\in\mathbb{N},\;P_{n+2}=XP_{n+1}-P_n. \]\\
  1. Montrer\\ \[ \forall n\in\mathbb{N},\;P_{n+1}^2=1+P_nP_{n+2}. \]
  2. En déduire\\ \[ \forall n\in\mathbb{N},\;P_n\;\mathrm{et}\;P_{n+1}\;\mathrm{sont\;premiers\;entre\;eux}. \]
  3. Établir que pour tout $m\in\mathbb{N}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$ on a\\ \[ P_{m+n}=P_nP_{m+1}-P_{n-1}P_m. \]
  4. Montrer que pour tout $m\in\mathbb{N}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$ on a\\ \[ \mathrm{pgcd}(P_{m+n},P_n)=\mathrm{pgcd}(P_n,P_m). \] En déduire que $\mathrm{pgcd}(P_m,P_n)=\mathrm{pgcd}(P_n,P_r)$ où $r$ est le reste de la division euclidienne de $m$ par $n$.\\
  5. Conclure\\ \[ \mathrm{pgcd}(P_n,P_m)=P_{\mathrm{pgcd}(m,n)}. \]

Exercice 2148. ENS MP

\\ Existe-t-il une suite réelle $(a_n)_{n \geqslant 0}$ telle que, pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$, le polynôme $a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0$ possède exactement $n$ racines réelles distinctes ?
Exercice 2149. \\
  1. Soient $P,Q,R\in\mathbb{C}[X]$ premiers entre eux deux à deux, non constants, et tels que $P+Q+R=0$.\\ Soient $p,q,r$ le nombre de racines distinctes des polynômes $P,Q,R$ respectivement.\\ Prouver que $\deg P$ est strictement inférieur à $p+q+r$.\\ On pourra introduire $P'Q-Q'P$.\\
  2. Trouver tous les triplets de polynômes complexes $(P,Q,R)$ tels que\\ \[ P^n+Q^n=R^n \] pour $n\geqslant 3$ donné.\\
  3. Le résultat s’étend-il à $n=2$ ?
Exercice 2150. Résoudre dans $\mathbb{C}^3$ le système\\ \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+z^2=0,\\ x^4+y^4+z^4=0,\\ x^5+y^5+z^5=0. \end{array} \right. \]
Exercice 2151. Déterminer le reste de la division euclidienne de $(X\sin\theta+\cos\theta)^n$ par $X^2+1$.
Exercice 2152. Déterminer tous les polynômes $P \in \C[X]$ tels que $P(\Q)\subset \Q$.
Exercice 2153. Soit $n \in \N$. On cherche tous les polynômes $P$ à coefficients réels tels que :\\ \[ (X-1)P'-P=X^n. \]
  1. Soient $p\in\N$ et $P$ un polynôme de degré $p$. Justifier que $(X-1)P'-P\in\R_p[X]$ puis déterminer le degré de $(X-1)P'-P$.\\
  2. Justifier que $(R_1)$ n’a pas de solution.\\
  3. Déterminer de deux manières différentes les solutions de $(R_0)$.\\
  4. Supposons $n\geqslant 2$.\\
    1. Montrer que si $P$ vérifie $(R_n)$, alors $(X-1)P''=nX^{n-1}$ et en déduire que $(R_n)$ n’a pas de solution.\\
    2. Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant l’écriture sommatoire de $P$.\\
Exercice 2154. Pour $n \in \N^*$, on pose $Q_n(X) = (X^2 - 1)^n$ et $L_n(X) = Q_n^{(n)}(X)$.\\
  1. Montrer que $L_n$ est un polynôme de degré $n$.\\
  2. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$, $Q_n^{(k)}(1) = Q_n^{(k)}(-1) = 0$.\\
  3. Montrer que $L_n$ admet exactement $n$ racines, qui sont toutes réelles et même dans $]-1,1[$.
Exercice 2155. Soient $n \geqslant 1$ et $P\in\C[X]$ unitaire de degré $n$, que l’on note $P=X^n+\Sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$.\\ On pose $R=\max\left(1,\Sum_{k=0}^{n-1}|a_k|\right)$.\\
  1. Montrer que toutes les racines complexes de $P$ sont de module inférieur ou égal à $R$.\\
  2. Soient $P=nX^n-\Sum_{k=0}^{n-1}X^k$ et $z$ une racine de $P$ différente de $1$. Montrer que $|z| < 1$.
Exercice 2156. Soit $n \geqslant 1$.\\ On note $A_n$ l’ensemble des polynômes $P\in\Z[X]$ unitaires de degré $n$ tel que toutes les racines complexes de $P$ sont de module inférieur ou égal à $1$.\\ Montrer que $A_n$ est fini.
Exercice 2157. Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n \geqslant 1$.\\ Montrer que $P$ est scindé sur $\R$ si et seulement si pour tout $z\in\C$, $|\mathrm{Im}(z)|^n\leqslant |P(z)|$.