Exercices divers

Exercice 827. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer $(A-I)(A-3I)$. \\
  2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)(X-3)$. \\
  3. En déduire la valeur de $A^n$.
Exercice 828. Soient $(a,b) \in \R^2$ et $P = 2X^4+5X^3+5X^2+aX+b$. \\
  1. Déterminer $a$ et $b$ tels que $P(-1)=P'(-1)=0$. \\ On suppose pour la suite de l'exercice que $a$ et $b$ ont ces valeurs. \\
  2. Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine $-1$ pour $P$. \\
  3. Déterminer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X+1)^2$. \\
  4. Justifier que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X+1)^3$ est $2(X+1)^2$. Que vaut le quotient ? \\ On pourra utiliser la formule de Taylor.

Exercice 829. ESCP 2012

\\ Soient $\lambda, \mu$ deux réels avec $\lambda \neq 0$. \\ On considère la suite $(P_n)$ de polynômes définie par $P_0 \in \R_2[X]$ et $\forall n \in \N$, $P_{n+1} = \lambda P_n + \mu P_n'$. \\
  1. Montrer que $(P_n)$ est une suite d'éléments de $\R_2[X]$. \\
  2. Soit $n \in \N$ fixé et $Q \in \R_2[X]$. Existe-t-il $P_0 \in R_2[X]$ tel que $P_n = Q$ ?
Exercice 830. Trouver tous les polynômes $P \in \R[X]$ tels que $P(X^2) = (X^2+1)P(X)$.
Exercice 831. Soit $n \in \N^*$. On pose $P : x \mapsto (x+1)^n$. \\
  1. Calculer de deux manières différentes la dérivée $P'$ de $P$. \\
  2. En déduire la somme $\Sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k}$.
Exercice 832. Déterminer tous les polynômes $P \in \R[X]$ vérifiant $P(0)=0$ et $P(X^2+1)=P(X)^2+1$.
Exercice 833. Soit $E$ l’ensemble $E=\{P \in \R_4[X] \mid P(0)=P(4)=0\}$ et le polynôme $W=X(X-4)$.\\ Montrer que l’application $\psi : \R_2[X] \to E$ telle que $\forall Q \in \R_2[X], \psi(Q)=WQ$ est une bijection.