Exercices divers

Exercice 1602. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. \\

1. Calculer $(A-I)(A-3I)$. \\
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)(X-3)$. \\
3. En déduire la valeur de $A^n$.

Exercice 1603. \\ Soit $n \geqslant 2$ un entier naturel. Déterminer tous les polynômes de $\R_n[X]$ divisibles par $X+1$ et dont les restes de la division euclidienne par $X+2$, $X+3$, $\hdots$, $X+n+1$ sont égaux.

Exercice 1604. ENS MP

\\ Existe-t-il une suite réelle $(a_n)_{n \geqslant 0}$ telle que, pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$, le polynôme $a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0$ possède exactement $n$ racines réelles distinctes ?