Racines et multiplicité

Exercice 1597. Trouver l'ordre de multiplicité de la racine $1$ du polynôme $P(X)=X^4-X^3-3X^2+5X-2$.

Exercice 1598. \\

1. Montrer que si $P \in \R_n[X]$ et que pour tout $i \in \{0, \hdots, n\}$, $P(i) =0$, alors $P = 0$. \\
2. Soient $P,Q \in \R[X]$. Montrer que si pour tout $x \in [0,1]$, $P(x)=Q(x)$, alors $P=Q$.

Exercice 1599. Soit $P \in \R[X]$ et $a \in \R$. \\ Montrer l'équivalence \[ P(a) = 0 \iff \exist Q \in \R[X], \;\; P(X)=(X-a)Q(X) \]

Exercice 1600. Soit $n \in \N$ et $a,b \in \R$ tels que $a \neq b$. \\ Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-a)$, puis par $(X-a)(X-b)$ puis par $(X-a)^2$.

Exercice 1601. Soit $n \geqslant 1$ et $P_n(x) = \Sum_{k=0}^{n} \Frac{x^k}{k!}$. \\

1. Les racines de $P_n$ sont-elles simples ? \\
2. Déterminer le nombre de racines réelles de $P_n$.