Degré, coefficients, racines

Exercice 2049. Trouver l'ordre de multiplicité de la racine $1$ du polynôme $P(X)=X^4-X^3-3X^2+5X-2$.
Exercice 2050. \\
  1. Montrer que si $P \in \R_n[X]$ et que pour tout $i \in \{0, \hdots, n\}$, $P(i) =0$, alors $P = 0$. \\
  2. Soient $P,Q \in \R[X]$. Montrer que si pour tout $x \in [0,1]$, $P(x)=Q(x)$, alors $P=Q$.
Exercice 2051. Soit $n\in\mathbb{N}$. Déterminer l'ordre de multiplicité de $1$ comme racine des polynômes :\\
  1. $X^n-nX+(n-1)$.\\
  2. $X^{2n}-nX^{n+1}+nX^{n-1}-1$.\\
  3. $X^{2n+1}-(2n+1)X^{n+1}+(2n+1)X^n-1$.
Exercice 2052. Soit $(x,y,z)\in\mathbb{C}^3$ tels que $x+y+z=0$ et $\Frac{1}{x}+\Frac{1}{y}+\Frac{1}{z}=0$. Montrer que $|x|=|y|=|z|$.
Exercice 2053. Soit $E_n=1+\Frac{X}{1!}+\Frac{X^2}{2!}+\cdots+\Frac{X^n}{n!}$. Montrer que $E_n$ n'admet pas de racine multiple dans $\mathbb{C}$.

Exercice 2054. CCP

\\ Soit $(p,q)\in \C^2$.\\ Condition nécessaire et suffisante pour que $P(X)=X^3+pX+q$ admette une racine double.\\ Déterminer dans ce cas les racines de $P$.
Exercice 2055. Déterminer les polynômes $P\in\C[X]$ tels que $P'$ divise $P$.
Exercice 2056. Factoriser dans $\C[X]$ puis dans $\R[X]$ le polynôme $X^9+X^6+X^3+1$.
Exercice 2057. \\
  1. Soit $P = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0$ un polynôme à coefficients entiers tel que $a_n \neq 0$ et $a_0 \neq 0$.\\ On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $r = \Frac{p}{q}$ exprimée sous forme irréductible.\\ Montrer que $p \mid a_0$ et $q \mid a_n$.\\
  2. Factoriser $P = 2X^3 - X^2 - 13X + 5$.\\
  3. Le polynôme $P = X^3 + 3X - 1$ est-il irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$ ?
Exercice 2058. En considérant le polynôme $(X+1)^{2n}$, démontrer que \[ \Sum_{k=0}^{p} \binom{n}{k}\binom{n}{p-k} = \binom{2n}{p} \]
Exercice 2059. Justifier les divisibilités suivantes :\\
  1. $\forall n \in \mathbb{N},\; X^2 \mid (X+1)^n-nX-1$.\\
  2. $\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\; (X-1)^3 \mid nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n$.
Exercice 2060. Soit $P$ un polynôme de degré $n+1 \in \mathbb{N}^*$ à coefficients réels possédant $n+1$ racines réelles distinctes.\\
  1. Montrer que son polynôme dérivé $P'$ possède exactement $n$ racines réelles distinctes.\\
  2. En déduire que les racines du polynôme $P^2+1$ sont toutes simples dans $\mathbb{C}$.
Exercice 2061. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.\\ Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{R}^*$ les racines de $P^2+\alpha^2$ dans $\mathbb{C}$ sont toutes simples.
Exercice 2062. Soit $(P_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite de polynômes définie par\\ \[ P_1 = X-2 \quad\mathrm{et}\quad \forall n \in \mathbb{N}^*,\; P_{n+1}=P_n^2-2. \] Calculer le coefficient de $X^2$ dans $P_n$.
Exercice 2063. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda\in\mathbb{C}$ pour que $X^3-7X+\lambda$ admette une racine qui soit le double d’une autre.\\ Résoudre alors l’équation.
Exercice 2064. \\
  1. Montrer que $a=\cos(\Frac{\pi}{9})$ est racine d'un polynôme de degré $3$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$.\\
  2. Justifier que le nombre $a$ est irrationnel.
Exercice 2065. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé de degré supérieur à $2$.\\ Montrer que $P'$ est scindé.
Exercice 2066. Soit $n\in\N^\*$ et $a\in\R$.\\ Factoriser $P(X)=X^{2n}-2\cos(na)X^n+1$ dans $\C[X]$, puis dans $\R[X]$.
Exercice 2067. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ simplement scindé sur $\mathbb{R}$.\\ Montrer que $P$ ne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.
Exercice 2068. Trouver les racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $X^4+12X-5$ sachant qu’il possède deux racines dont la somme est $2$.
Exercice 2069. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé sur $\mathbb{R}$.\\ Montrer que pour tout réel $\alpha$, le polynôme $P' + \alpha P$ est lui aussi scindé sur $\mathbb{R}$.
Exercice 2070. Soit $P = (X+1)^n-(X-1)^n$. \\ Déterminer son degré et son coefficient dominant.
Exercice 2071. Soit $P=X^3+aX^2+bX+c$ un polynôme complexe de racines $\alpha,\beta,\gamma$.\\ Calculer\\ \[ \Frac{\alpha}{\beta+\gamma}+\Frac{\beta}{\gamma+\alpha}+\Frac{\gamma}{\alpha+\beta}. \]
Exercice 2072. \\
  1. Soit $n \geqslant 1$ et $P$ un polynôme de degré $n$. \\ Quel est le degré des polynômes $Q = X^2P'+P$ et $R = XP'+P$ ? \\
  2. Soit $(H_n)$ la suite de polynômes définie par $H_0=1$ et pour tout $n \in \N$, $H_{n+1} = H_n'-2XH_n$. \\
    1. Déterminer $H_1$, $H_2$ et $H_3$. \\
    2. Déterminer le degré de $H_n$ et son coefficient dominant pour $n \in \N$.
Exercice 2073. Soient $a$, $b$, $c$ trois éléments, non nuls et distincts, du corps $K$.\\ Démontrer que le polynôme\\ \[ P=\Frac{X(X-b)(X-c)}{a(a-b)(a-c)}+\Frac{X(X-c)(X-a)}{b(b-c)(b-a)}+\Frac{X(X-a)(X-b)}{c(c-a)(c-b)} \]\\ peut s'écrire sous la forme $P=\lambda(X-a)(X-b)(X-c)+1$ où $\lambda$ est une constante que l'on déterminera.
Exercice 2074. Soit $P\in\mathbb{R}[X]$. Montrer que si toutes les racines de $P$ sont réelles, alors il en est de même de $P'$.\\ En déduire que dans ce cas, toutes les racines de $P^2+1$ sont non réelles, et simples.
Exercice 2075. \\
  1. Si $P \in \mathbb{R}[X]$ est scindé sur $\mathbb{R}$, montrer que $P'$ est scindé ou constant sur $\mathbb{R}$.\\
  2. Si $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$, montrer que $X^{10}+aX^9+bX^8+cX^7+X+1$ n’est pas scindé sur $\mathbb{R}$.
Exercice 2076. Soit $n \geqslant 1$ et $P_n(x) = \Sum_{k=0}^{n} \Frac{x^k}{k!}$. \\
  1. Les racines de $P_n$ sont-elles simples ? \\
  2. Déterminer le nombre de racines réelles de $P_n$.
Exercice 2077. On étudie les polynômes $P$ tels que $P''$ divise $P$.\\ Soit $P$ un polynôme unitaire de $\C[X]$ satisfaisant cette condition, et $n$ son degré.\\
  1. Montrer que $P$ admet au plus une racine multiple.\\
  2. Si $P$ admet une racine multiple $s$ de multiplicité $\alpha$, en notant $Q$ tel que $P=Q(X-s)^\alpha$, former une équation différentielle satisfaite par $Q$ et en déduire que $\alpha=n$. Conclusion.\\
  3. Caractériser les polynômes $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ tels que $P''$ divise $P$, et sans racine multiple.

Exercice 2078. Mines-Pont

\\ Soit $P$ un polynôme scindé de $\R[X]$ à racines simples, de degré $n \geqslant 2$.\\
  1. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples.\\
  2. Montrer que $P = \Sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ ne peut pas avoir deux coefficients successifs nuls.\\
  3. Montrer que $P$ ne peut pas avoir un coefficient nul entouré de deux coefficients non nuls de même signe.
Exercice 2079. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ simplement scindé sur $\mathbb{R}$.\\ Montrer que $P$ ne peut avoir aucun coefficient nul encadré par deux coefficients non nuls et de même signe.
Exercice 2080. \\
  1. Soit $n \in \mathbb{N}$.\\ Exprimer $\sin((2n+1)\alpha)$ en fonction de $\sin\alpha$ et $\cos\alpha$.\\
  2. En déduire que les racines du polynôme\\ \[ P(X)=\Sum_{p=0}^{n}(-1)^p\binom{2n+1}{2p+1}X^{n-p} \] sont de la forme $x_k=\cot^2\beta_k$.\\ Déterminer les $\beta_k$.

Exercice 2081. X MP

\\ Soit $P \in \R[X]$ simplement scindé sur $\R$.\\ Montrer que $P$ ne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.

Exercice 2082. X MP

\\ Déterminer les polynômes $P \in \C[X]$ tels que $P'$ divise $P$.
Exercice 2083. Soit $P \in \R[X]$ un polynôme scindé dans $\R$ et à racines simples.\\
  1. Montrer que toutes les racines de $P'$ sont réelles.\\
  2. En déduire que le polynôme $P^2+1$ est scindé dans $\C$ et à racines simples.\\
  3. Montrer les deux résultats tiennent encore même si les racines de $P$ ne sont pas supposées simples.
Exercice 2084. Soit $n \in \N$, $n \geqslant 2$. On pose $Q=nX^n-\Sum_{k=0}^{n-1}X^k$ et $P=(X-1)Q$.\\
  1. Soit $z$ une racine complexe de $Q$. Montrer que $|z|\leqslant 1$.\\
  2. Montrer que $1$ est la seule racine de module $1$ de $Q$ et que toutes ses racines sont simples.