Degré et coefficient dominant

Exercice 1167. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-1$.
Exercice 1168. Démontrer qu'il n'existe aucun polynôme $P$ tel que $P^2 = X(X^{2n}+1)$.
Exercice 1169. Déterminer les polynômes $P$ tels que $(P')^2 = 4P$.
Exercice 1170. Déterminer tous les polynômes $P \in \R[X]$ vérifiants $P(X+1)=P(X)$.
Exercice 1171. Soit $P = (X+1)^n-(X-1)^n$. \\ Déterminer son degré et son coefficient dominant.
Exercice 1172. \\
  1. Soit $n \geqslant 1$ et $P$ un polynôme de degré $n$. \\ Quel est le degré des polynômes $Q = X^2P'+P$ et $R = XP'+P$ ? \\
  2. Soit $(H_n)$ la suite de polynômes définie par $H_0=1$ et pour tout $n \in \N$, $H_{n+1} = H_n'-2XH_n$. \\
    1. Déterminer $H_1$, $H_2$ et $H_3$. \\
    2. Déterminer le degré de $H_n$ et son coefficient dominant pour $n \in \N$.