Equations polynomiales

Exercice 2118. Déterminer tous les polynômes de $\mathbb{C}[X]$ tels que $P(X^2)=(X^2+1)P(X)$.
Exercice 2119. Déterminer tous les polynômes $P \in \R[X]$ vérifiants $P(X+1)=P(X)$.
Exercice 2120. Démontrer qu'il n'existe aucun polynôme $P$ tel que $P^2 = X(X^{2n}+1)$.
Exercice 2121. Résoudre $x^3-8x^2+23x-28=0$ sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.
Exercice 2122. Résoudre les équations suivantes :\\
  1. $P'^2=4P$ d’inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$.\\
  2. $(X^2+1)P''-6P=0$ d’inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$.
Exercice 2123. Résoudre les équations suivantes :\\
  1. $Q^2 = X P^2$ d’inconnues $P,Q \in \mathbb{K}[X]$.\\
  2. $P \circ P = P$ d’inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$.
Exercice 2124. Montrer que pour tout entier naturel $n$, il existe un unique polynôme $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que\\ \[ P_n-P_n'=X^n. \] Exprimer les coefficients de $P_n$ à l’aide de nombres factoriels.
Exercice 2125. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme non nul tel que\\ \[ P(X^2)+P(X)P(X+1)=0. \]\\
  1. Montrer que si $a$ est racine de $P$ alors $a^2$ l’est aussi.\\
  2. En déduire que $a=0$ ou bien $a$ est racine de l’unité.
Exercice 2126. Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb{C}[X]$ tels que $P(0)=0$ et $P(X^2+1)=P(X)^2+1$.
Exercice 2127. Déterminer les polynômes $P\in\mathbb{C}[X]$ tel que $P(X^2)=-P(X)P(X+1)$.
Exercice 2128. Déterminer les $P$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que\\ \[ (X+4)P(X)=XP(X+1). \]
Exercice 2129. Trouver les $P\in\mathbb{C}[X]$ tels que\\ \[ P(1)=1,\;P(2)=2,\;P'(1)=3,\;P'(2)=4,\;P''(1)=5\;et\;P''(2)=6. \]
Exercice 2130. Montrer que si $P\in\mathbb{R}[X]\setminus\{0\}$ vérifie\\ \[ P(X^2)=P(X)P(X+1), \] ses racines sont parmi $0,1,-j,-j^2$.\\ En déduire tous les polynômes solutions.

Exercice 2131. X

\\ Trouver tous les couples $(P,Q)\in\mathbb{C}[X]^2$ tels que $P^2=1+(X^2-1)Q^2$.\\
Exercice 2132. On cherche les polynômes $P$ non nuls tels que\\ \[ P(X^2)=P(X-1)P(X). \]\\
  1. Montrer que toute racine d’un tel $P$ est de module $1$.\\
  2. Déterminer les polynômes $P$.
Exercice 2133. On considère l’équation : $x^3-(2+\sqrt{2})x^2+2(\sqrt{2}+1)x-2\sqrt{2}=0$ de racines $x_1,x_2,x_3$.\\
  1. Former une équation dont $x_1^2,x_2^2,x_3^2$ seraient racines.\\
  2. En déduire les valeurs de $x_1,x_2,x_3$.