Suites récurrentes

Exercice 1412. Pour $n \geqslant 1$ on considère la fonction \[ f_n(x) = x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1. \]
  1. Montrer que l’équation $f_n(x)=0$ admet une unique racine $\alpha_n \in [0,1]$. \\
  2. Étudier la monotonie et la convergence de la suite $(\alpha_n)_{n \geqslant 1}$. \\
  3. En déduire la limite $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \alpha_n$. \\
  4. Montrer que $\alpha_n = \Frac{1}{2} + \Frac{1}{4\times2^n} + o\parenthese{\Frac{1}{2^n}}$ lorsque $n \to +\infty$.
Exercice 1413.
  1. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, montrer que l’équation $\Sum_{k=1}^{n}x^k=1$ admet une unique solution sur $[0,1]$ notée $a_n$. \\
  2. Montrer que la suite $(a_n)$ converge vers une limite $\ell$ que l’on calculera. \\
  3. Donner un équivalent de $a_n-\ell$.

Exercice 1414. Mines-Télécom

\\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, il existe un unique réel $x_n$ solution de l’équation \[ x^3 + n x = 1. \]
  2. Montrer que, pour tout $n \in \N^{*}$, on a $0 \leqslant x_n \leqslant \Frac{1}{n}$.
  3. Montrer que, lorsque $n \to +\infty$, on a \[ x_n = \Frac{1}{n} - \Frac{1}{n^{4}} + o\!\left(\Frac{1}{n^{4}}\right). \]
Exercice 1415. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $3$. Soit $f_n:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ l’application définie pour tout $x\in[0,+\infty[$ par $f_n(x)=x^n-nx+1$.\\
  1. Prouver l’existence de deux racines $\alpha_n$ et $\beta_n$ de $f_n$ telles que $0<\alpha_n<1<\beta_n$.\\
  2. Montrer que $(\alpha_n)_{n\geqslant 3}$ converge et calculer sa limite.\\
  3. Montrer que $\alpha_n\sim_{+\infty}\Frac{1}{n}$.\\
  4. En considérant $f_n\left(1+\Frac{2}{\sqrt{n}}\right)$, déterminer la limite $\ell$ de $\beta_n$.\\
  5. Déterminer un équivalent de $\ln(\beta_n)$, puis de $\beta_n-\ell$.\\
Exercice 1416. On considère, pour tout $n \geqslant 1$, l’équation \[ x^n + x - 1 = 0 \] d’inconnue $x \in [0,1]$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, cette équation admet une unique solution $v_n$ sur $[0,1]$, et déterminer $\limnf v_n$.\\
  2. On note $w_n = 1 - v_n$. Montrer que, pour $n$ assez grand, \[ \Frac{\ln(n)}{2n} \leqslant w_n \leqslant \Frac{2 \ln(n)}{n}. \]
  3. Donner un développement asymptotique de $v_n$ lorsque $n \to +\infty$.

Exercice 1417. Centrale

\\ Pour $n \geqslant 2$, on considère le polynôme $P_n(X) = X^n - nX + 1$. \\
  1. Montrer que $P_n$ admet une unique racine réelle entre $0$ et $1$, notée $x_n$, et déterminer $\limnf x_n$ ainsi qu’un équivalent de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$. \\
  2. On pose $\varepsilon_n = n x_n - 1$. Montrer que $\varepsilon_n = \Frac{(1+\varepsilon_n)^n}{n^n}$ et que $\Frac{(1+\varepsilon_n)^n}{n^n} \to 1$ lorsque $n \to +\infty$. \\
  3. En déduire un développement asymptotique à deux termes de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.
Exercice 1418. Soit $n$ un entier naturel et $E_n$ l’équation $x+\ln x=n$ d’inconnue $x\in\mathbb{R}_+^*$.\\
  1. Montrer que l’équation $E_n$ possède une solution unique notée $x_n$.\\
  2. Montrer que la suite $(x_n)$ diverge vers $+\infty$.\\
  3. Donner un équivalent simple de la suite $(x_n)$.
Exercice 1419. \\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un unique $x_n \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $\ln(x_n)+nx_n=0$. \\
  2. Montrer que $x_n \xrightarrow[n\to+\infty]{}0$. \\
  3. Donner un équivalent de $x_n$.
Exercice 1420. Pour $n \in \N$, $n \geqslant 3$, et $x \in \R_+^*$, on pose : $f_n(x)=x-n\ln(x)$.\\
  1. Soit $n \geqslant 3$. Montrer que $f_n$ s’annule en deux réels, notés $u_n$ et $v_n$, qui vérifient $u_n < n < v_n$.\\
    1. Montrer que $\forall n \geqslant 3,\;1 < u_n < e$.\\
    2. Montrer que $f_n(u_{n+1})=\ln(u_{n+1})$ ; en déduire que $(u_n)$ est décroissante.\\
    3. Montrer que $(u_n)$ converge vers $1$.\\
    4. Montrer que $u_n-1 \sim \Frac{1}{n}$.\\
    1. Donner la limite de $(v_n)$.\\
    2. Montrer que $\forall n \geqslant 3,\;n\ln(n) < v_n < 2n\ln(n)$.\\
    3. Montrer que $v_n \sim n\ln(n)$.
Exercice 1421. Soit $f:]0,+\infty[\to\mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x)=\ln x+x$.\\
  1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe un unique $x_n$ tel que $f(x_n)=n$.\\
  2. Former le développement asymptotique de la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à la précision $o\left(\Frac{\ln n}{n}\right)$.
Exercice 1422. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto e^x + x^2 - n x$.\\
  1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n$ admet un minimum $\mu_n$ atteint en un point et un seul noté $x_n$.\\
  2. Déterminer des équivalents simples de $x_n$ et $\mu_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.

Exercice 1423. Mines-Télécom

\\ On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N$, \[ u_{n+1} = u_n e^{-u_n}. \]
  1. Montrer que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ converge et donner sa limite. \\
  2. On définit \[ v_n = \Frac{1}{u_{n+1}} - \Frac{1}{u_n}. \] Montrer que $(v_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $1$. \\
  3. En déduire un équivalent de $u_n$.

Exercice 1424. Mines-Pont

\\ Pour $n \in \N$, on pose l'équation \[ (E_n) \; : \; xe^{nx} = 1 \]
  1. Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution réelle notée $x_n$. \\
  2. Montrer que $(x_n)$ a une limite $\ell$ que l'on déterminera. \\
  3. Déterminer un équivalent de $x_n$.
Exercice 1425. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, justifier que l’équation $x+e^x=n$ possède une unique solution $x_n\in\mathbb{R}$.\\ Déterminer la limite de $(x_n)$ puis un équivalent de $x_n$.\\ Former un développement asymptotique à trois termes de $x_n$ quand $n\to +\infty$.

Exercice 1426. Mines-Télécom

\\ On considère la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ définie par $a_1 = 2$ et, pour tout $n \in \N^{*}$, \[ a_{n+1} = 2^{\frac{a_n}{n+1}}. \]
  1. Montrer que la suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ est décroissante. \\
  2. Montrer que $(a_n)_{n\geqslant 1}$ converge et préciser sa limite. \\
  3. Déterminer $\lim_{n\to +\infty} a_n^{n}$ et en déduire l’existence de $b \in \R$ tel que \[ a_n = 1 + \Frac{b}{n} + o\!\left(\Frac{1}{n}\right). \]
Exercice 1427. On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ définie par $u_0 > 0$ et, pour tout $n\in\N$, \[ u_{n+1} = u_n + \Frac{1}{u_n^{\alpha}}, \qquad (\alpha > -1). \] Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n\to+\infty$.
Exercice 1428. On pose $u_0 \in [0,\pi]$ et $\forall n \in \N,\;u_{n+1}=\sin(u_n)$.\\
  1. Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ est une suite décroissante de limite nulle.\\
  2. Déterminer une valeur de $m \in \N^*$ telle que $\Frac{1}{\sin^m(x)}-\Frac{1}{x^m}$ admette une limite finie non nulle quand $x \to 0$.\\
  3. On admet le résultat suivant :\\ Si $(v_n)$ est une suite telle que $v_n=o(1)$, alors $\Sum_{k=1}^{n} v_k=o(n)$.\\ En déduire un équivalent de $u_n$ quand $n \to +\infty$.
Exercice 1429. On considère l’équation $\tan(x) = x$ d’inconnue $x \in \mathbb{R}$.\\ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $I_n = \; ]-\Frac{\pi}{2}+n\pi,\;\Frac{\pi}{2}+n\pi[ $.\\
  1. Soit $n \in \mathbb{N}$.\\ Montrer que cette équation admet une unique solution $x_n$ dans $I_n$.\\
  2. Donner un équivalent de la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$.\\
  3. Donner un développement asymptotique à trois termes de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.

Exercice 1430. Centrale

\\ On pose $u_0 = a > 0$, $u_1 = b > 0$ et, pour tout $n \geqslant 1$, \[ (R) :\quad u_{n+1} = \Frac{u_n}{1 + u_n u_{n-1}}. \]
  1. Montrer que $u_n \longrightarrow 0$, puis que $u_n \sim \Frac{1}{\sqrt{2n}}$. \\
  2. Prouver que \[ u_n = \Frac{1}{\sqrt{2n}} \;-\; \Frac{3\ln(n)}{8\sqrt{2}\,n^{3/2}} \;+\; o\!\left(\Frac{\ln(n)}{n^{3/2}}\right). \]
Exercice 1431. Montrer que l’équation $\tan x=\sqrt{x}$ possède une unique solution $x_n$ dans chaque intervalle $I_n=]-\Frac{\pi}{2},\Frac{\pi}{2}[+n\pi$ (avec $n\in\mathbb{N}^*$).\\ Réaliser un développement asymptotique à quatre termes de $x_n$.
Exercice 1432. Montrer que l’équation $x^n+x^2-1=0$ admet une unique racine réelle strictement positive pour $n\geqslant 1$.\\ On la note $x_n$.\\ Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(x_n)$ puis un équivalent de $x_n-\ell$.
Exercice 1433. Pour tout entier $n\geqslant 2$, on considère l’équation $(E_n):x^n=x+1$ dont l’inconnue est $x\geqslant 0$.\\
  1. Montrer l’existence et l’unicité de $x_n$ solution de $(E_n)$.\\
  2. Montrer que $(x_n)$ tend vers $1$.\\
  3. Montrer que $(x_n)$ admet un développement limité à tout ordre. Donner les trois premiers termes de ce développement limité.
Exercice 1434. Soit $n\in\mathbb{N}$.\\
  1. Montrer que l’équation $x^n+\ln x=0$ possède une unique solution $x_n>0$.\\
  2. Déterminer la limite de $x_n$.\\
  3. On pose $u_n=1-x_n$. Justifier que $nu_n\sim -\ln(u_n)$ puis déterminer un équivalent de $u_n$.
Exercice 1435. Soit $f(x)=(\cos x)^{\frac{1}{x}}$ et $(C)$ le graphe de $f$.\\
  1. Montrer l’existence d’une suite $(x_n)$ vérifiant :\\
    1. $(x_n)$ est croissante positive.\\
    2. la tangente à $(C)$ en $(x_n,f(x_n))$ passe par $O$.\\
  2. Déterminer un développement asymptotique à $2$ termes de $(x_n)$.
Exercice 1436. On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n \geqslant 1$ par\\ \[ u_n=\sqrt{n+\sqrt{(n-1)+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{1}}}}. \]
  1. Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.\\
  2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.\\
  3. Montrer que $u_n \leqslant n$ puis que $u_n=o(n)$.\\
  4. Donner un équivalent simple de $(u_n)$.\\
  5. Déterminer $\limn\big(u_n-\sqrt{n}\big)$.
Exercice 1437. On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par récurrence par $u_0=1$ et $u_{n+1}=1+\Frac{u_n}{n+1}$.\\ Déterminer un développement asymptotique de cette suite à la précision $o\parenthese{\Frac{1}{n}}$.
Exercice 1438. Montrer que pour tout entier $n \in \N$, l’équation $\sin x = \Frac{1}{x}$ admet une unique solution $x_n \in ]2n\pi,2n\pi+\Frac{\pi}{2}[$.\\ Déterminer un développement asymptotique de la suite $u_n=x_n-2n\pi$ à la précision $o\parenthese{\Frac{1}{n^3}}$.