Suites récurrentes

Exercice 1041. Soit $f : \R \to \R$ une fonction continue telle que pour tout réel $x$, $f(x) < x$. \\ On définit la suite $\un$ par $u_0 \in \R$ et pour tout $n \in \N$ par $u_{n+1} = f(u_n)$. \\ Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.
Exercice 1042. Soit $\un$ telle que $u_0 \in [0,1]$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{u_n+u_n^2}{2}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. \\
  2. Montrer que $\un$ est décroissante. En déduire que $\un$ converge vers un réel que l'on précisera.
Exercice 1043. Soit $\un$ définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $u_n > 0$ et $u_n$ existe. \\
  2. En utilisant la conjuguaison, montrer que $\forall n \in \N$, $\abs{u_{n+1}-2} \leqslant \Frac{1}{2} \abs{u_n-2}$. \\
  3. En déduire que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_n-2} \leqslant \parenthese{\Frac{1}{2}}^{n-1}$. \\
  4. Montrer que $\un$ converge et préciser sa limite.
Exercice 1044. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_ne^{-u_n}$. \\
  1. Montrer que $\un$ est décroissante. \\
  2. En déduire que $\un$ converge vers un réel $\ell$ que l'on précisera. \\
  3. On pose $S_n = \Sum_{k=0}^{n}u_k$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_0 e^{-S_n}$. \\
    2. En déduire que $(S_n)$ admet une limite que l'on précisera.
Exercice 1045. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{1}{5}(u_n^3-1)$. \\ On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{1}{5}(x^3-1)$. \\
  1. Montrer que pour tout $x \in [-1,1]$, $f(x) \in [-1,1]$, en déduire par récurrence que pour tout $n \in \N$, $u_n \in [-1,1]$. \\
  2. Vérifier que $f$ est croissante sur $[-1,1]$, en déduire par récurrence que $\un$ est croissante. \\
  3. Montrer que $\un$ converge vers un réel $\ell$ et vérifier que $f(\ell)=\ell$. \\
  4. Montrer que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_{n+1}-\ell} \leqslant \Frac{3}{5}\abs{u_n-\ell}$ puis en déduire que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_n-\ell} \leqslant \parenthese{\Frac{3}{5}}^{n}$.
Exercice 1046. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3-3x+1$. \\
  1. Montrer que $\forall n \in \N^*$, $\exist ! x_n \in [0,1[ \; / \; f(x_n) = \Frac{1}{n}$. \\
  2. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ est croissante et majorée par $1$. \\
  3. En déduire que cette suite converge vers un réel $\ell \in [0,1]$. \\
  4. Que représente ce nombre $\ell$ pour la fonction $f$ ?