Suites extraites

Exercice 1244. Justifier que la suite $(\cos{n})_{n \in \N}$ diverge.
Exercice 1245. Soient $(a,b) \in \C^2$ et $(z_n){n \in \N}$ une suite complexe telle que \[ z_{2n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} a \quad et \quad z_{2n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} b \] Montrer que la suite $(z_{n}z_{n+1})$ converge et déterminer sa limite.
Exercice 1246. Soit $\un$ une suite telle que pour tout $n,m \in \N^*$, $0 \leqslant u_{n+m} \leqslant \Frac{n+m}{nm}$. \\ Montrer que $\un$ converge vers $0$.
Exercice 1247. Soit $(x_n) \in \R^ \N$ une suite réelle. Montrer que $(x_n)_{n \geqslant 0}$ n'admet aucune suite extraite convergente si et seulement si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \abs{x_n} = +\infty$.
Exercice 1248. \\
  1. Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite réelle.\\ On suppose que $(u_n)_{n\in\N}$ n’est pas majorée. Montrer qu’elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.\\
  2. On suppose que $(|u_n|)_{n\in\N}$ ne tend pas vers $+\infty$. Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ possède une sous-suite bornée.
Exercice 1249. Montrer qu'une suite réelle non majorée admet une suite extraite strictement croissante qui diverge vers $+\infty$.
Exercice 1250. Soit $\un$ une suite croissante telle que $(u_{2n})$ converge. \\ Montrer que $\un$ converge.
Exercice 1251. Soit $\un$ une suite telle que $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ convergent. \\ Montrer que $\un$ converge.
Exercice 1252. Soit $(u_n)$ une suite telle que les suites extraites $(u_{2p})$, $(u_{2p+1})$ et $(u_{q^2})$ convergent.\\ Montrer que $(u_n)$ converge.
Exercice 1253. Soit $(x_n)_{n \geqslant 0}$ une suite réelle bornée telle que toutes les suites extraites qui convergent ont la même limite. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 0}$ est convergente.
Exercice 1254. Montrer qu’une suite complexe bornée pour laquelle toute suite extraite convergente converge vers un même complexe $\ell$ converge vers $\ell$.
Exercice 1255. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tous $k , n \in \N^{*}$, \\ \[ 0 \leqslant u_n \leqslant \Frac{k}{n} + \Frac{1}{k}. \] Montrer que $u_n \longrightarrow 0$.
Exercice 1256. Soit $z = (z_n)_{n \in \N}$ une suite de nombres complexes.\\
  1. Montrer que si la suite $z$ est bornée, elle admet une sous-suite qui converge.\\
  2. On suppose que $\forall (p,q) \in \N^2$, $p \neq q \;\Rightarrow\; \abs{z_p - z_q} \geqslant 1$. Montrer que $\limn \abs{z_n} = +\infty$.