Suites extraites

Exercice 1037. Soit $\un$ une suite croissante telle que $(u_{2n})$ converge. \\ Montrer que $\un$ converge.

Exercice 1038. Soit $\un$ une suite telle que $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ convergent. \\ Montrer que $\un$ converge.

Exercice 1039. Soit $\un$ une suite telle que pour tout $n,m \in \N^*$, $0 \leqslant u_{n+m} \leqslant \Frac{n+m}{nm}$. \\ Montrer que $\un$ converge vers $0$.

Exercice 1040. Soit $\un$ une suite vérifiant $\lim u_{n+1}-u_n= 0$ et $\lim u_n = +\infty$. \\ Montrer qu'il existe une fonction $f : \N \to \N$ strictement croissante telle que $\lim u_{f(n)}-n = 0$.