Exercices divers

Exercice 1064. Déterminer les fonctions $f : \R \to \R$ continues telles que \[ \forall (x,y) \in \R^2, \;\; f(x+y) = f(x)+f(y) \]

Exercice 1065. HEC 2024

\\ Soit $f : \R \to \R$ continue telle que $f(0)=f(1)$. \\

1. Montrer qu'il existe $\alpha \in [0,\frac{1}{2}]$ tel que $f\parenthese{\alpha+\Frac{1}{2}} = f(\alpha)$. \\
2. Plus généralement, montrer que pour tout $n \in \N^*$, il existe $\alpha_n$ dans $\left[0,1-\Frac{1}{n}\right]$ tel que $f\parenthese{\alpha_n+\Frac{1}{n}} = f(\alpha_n)$.

Exercice 1066. Soit un entier $n \geqslant 1$ et soit $f_n$ la fonction définie par \[ f_n(x)=nx-e^{-x} \]

1. Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$ que l'on notera $u_n$. \\
2. Calculer $f_n(0)$ et $f_n\parenthese{\Frac{1}{n}}$ puis en déduire un encadrement de $u_n$. Calculer alors $\lim u_n$. \\
3. Montrer que $nu_n = e^{-u_n}$ et en déduire $\lim nu_n$.