Définition de la limite

Exercice 1409. Soit $f$ une application croissante de $\R_+$ dans $\R$ telle que $f(n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$. \\ Montrer que $f(x) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty$.

Exercice 1410. Soient $a \in \R$ et $f : \R \to \R$ une fonction continue en $a$. Montrer que si une suite $(u_{n})_{n \geqslant 0}$ converge vers $a$, alors $(f(u_{n}))_{n \geqslant 0}$ converge vers $f(a)$.

Exercice 1411. Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ que l’on suppose $T$-périodique avec $T > 0$. On suppose également qu’il existe $\ell \in \R$ tel que $f(x) \longrightarrow \ell$ quand $x \to +\infty$.\\ Montrer que $f$ est constante.

Exercice 1412. Soient $a < b$ et $f :\; ]a,b[ \to \R$ une fonction croissante.\\ Montrer que l’application $x \to \displaystyle \lim_{t \to x^{+}} f(t)$ est croissante.

Exercice 1413. Montrer que $\cos{x}$ n'a pas de limite en $+\infty$.

Exercice 1414. Soit $f : ]a,b[ \to \R$ une fonction croissante. \\ Montrer que si $f$ n'est pas majorée, alors $\displaystyle \lim_{x \to b^{-}} f(x) = +\infty$.

Exercice 1415. Soit $f:\R\to\R$ une fonction bornée sur tout intervalle de longueur $1$. On suppose que\\ \[ \lim_{x\to +\infty} (f(x+1)-f(x)) = 0. \] Montrer que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \Frac{f(x)}{x}=0$.