Définition de la limite

Exercice 1557. Soit $f$ une application croissante de $\R_+$ dans $\R$ telle que $f(n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$. \\ Montrer que $f(x) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty$.
Exercice 1558. Soient $a \in \R$ et $f : \R \to \R$ une fonction continue en $a$. Montrer que si une suite $(u_{n})_{n \geqslant 0}$ converge vers $a$, alors $(f(u_{n}))_{n \geqslant 0}$ converge vers $f(a)$.
Exercice 1559. Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ que l’on suppose $T$-périodique avec $T > 0$. On suppose également qu’il existe $\ell \in \R$ tel que $f(x) \longrightarrow \ell$ quand $x \to +\infty$.\\ Montrer que $f$ est constante.
Exercice 1560. Soient $a < b$ et $f :\; ]a,b[ \to \R$ une fonction croissante.\\ Montrer que l’application $x \to \displaystyle \lim_{t \to x^{+}} f(t)$ est croissante.
Exercice 1561. Montrer que $\cos{x}$ n'a pas de limite en $+\infty$.
Exercice 1562. Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+$ définie par\\ \[ f(x)= \begin{cases} 1 \quad si \;\; x \;\; est \;\; un \;\; entier \;\; premier,\\ 0 \quad sinon. \end{cases} \]
  1. Montrer que pour tout $x>1$ on a $\limn f(nx)=0$.\\
  2. Montrer que $f$ n’admet pas $0$ pour limite en $+\infty$.
Exercice 1563. Soit $f$ : $]a,b[ \to \R$ une fonction croissante. \\ Montrer que si $f$ n'est pas majorée, alors $\displaystyle \lim_{x \to b^{-}} f(x) = +\infty$.
Exercice 1564. Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $0$ et telle que $f(x)\to 0$ et $\Frac{f(2x)-f(x)}{x}\to 0$ quand $x\to 0$.\\ En étudiant $g : x \mapsto \Frac{f(2x)-f(x)}{x}$, montrer que $\Frac{f(x)}{x}\to 0$ quand $x\to 0$.\\ En déduire que $f$ est continue en $0$.
Exercice 1565. Soit $f:\R\to\R$ une fonction bornée sur tout intervalle de longueur $1$. On suppose que\\ \[ \lim_{x\to +\infty} (f(x+1)-f(x)) = 0. \] Montrer que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \Frac{f(x)}{x}=0$.