Calcul de limites

Exercice 1400. Soit $f(x) = e^{\cos(\sqrt{x})}$. \\ Calculer les limites de $f$ et de $f'$ en $0$.
Exercice 1401. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sin{x}^{\sin{x}}$.
Exercice 1402. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction $k$-lipschitzienne (avec $k\in[0,1[$) telle que $f(0)=0$.\\ Soient $a\in\R$ et $(u_n)$ la suite réelle définie par\\ \[ u_0=a \quad\text{et}\quad \forall n\in\N,\;u_{n+1}=f(u_n). \] Montrer que $u_n\to 0$.

Exercice 1403. Calculs de limites n°1

Déterminer les limites suivantes : \\
  1. $\limz \Frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ \\
  2. $\limplus \Frac{x-\sqrt{x}}{\ln{x}+x}$ \\
  3. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x$ \\
  4. $\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \ln{x}\ln(\ln{x})$ \\
  5. $\limz (1+x)^{1/x}$ \\
  6. $\displaystyle \lim_{x \to 1}\Frac{1-x}{\arccos{x}}$

Exercice 1404. Calculs de limites n°2

\\ Déterminer les limites suivantes \\
  1. $\limz x\sin\parenthese{\Frac{1}{x}}$ \\
  2. $\limplus \Frac{x\cos(e^x)}{x^2+1}$ \\
  3. $\limplus e^{x-\sin{x}}$ \\
  4. $\limplus \Frac{x+\arctan(x)}{x}$ \\
  5. $\limz x\lfloor 1/x \rfloor$ \\
  6. $\limplus x\lfloor1/x\rfloor$

Exercice 1405. Avec des parties entières

\\ Calculer les limites suivantes : \\
  1. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$. \\
  2. $\limz x\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$ \\
  3. $\limz x^2 \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$ \\
  4. $\limplus x\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$
Exercice 1406. Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+$ définie par \[ f(x)= \begin{cases} 1 & \;\; si \;\; x \;\; est \;\; un \;\; entier \;\; premier,\\ 0 & sinon \end{cases} \]
  1. Montrer que pour tout $x > 1$ on a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(nx)=0$.\\
  2. Montrer que $f$ n’admet pas $0$ pour limite en $+\infty$.
Exercice 1407. Étudier le domaine de définition et la continuité des fonctions suivantes, ainsi que leurs éventuels prolongements par continuité aux bornes :
  1. $x \mapsto \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^2$,\\
  2. $x \mapsto \exp\parenthese{-\Frac{1}{x^2}}$,\\
  3. $x \mapsto \sqrt{\Frac{\arcsin x}{x}}$,\\
  4. $x \mapsto \Frac{x \ln x}{x - 1}$,\\
  5. $x \mapsto \parenthese{x(\ln x)^2 + 1}^{1/\ln x}$.
Exercice 1408. Déterminer, si elles existent, les limites suivantes :\\
  1. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \Frac{x^{2}}{\ln(e^{x}+1)}$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \Frac{x^{2}}{\ln(e^{x}+1)}$.\\
  2. $\displaystyle \lim_{x \to 0} x\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$.\\
  3. $\displaystyle \lim_{x \to 1} \Frac{x^{a}-1}{x^{b}-1}$, où $a,b \in \R$ et $b \neq 0$.\\
  4. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin\parenthese{x+\Frac{1}{x}}$.\\
  5. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \parenthese{\ln x+\sin x}$.\\
  6. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}\parenthese{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}$.\\
  7. $\displaystyle \lim_{x \to 1} (\ln x)(\ln \ln x)$.\\
  8. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \Frac{x^{x}}{\lfloor x \rfloor^{\lfloor x \rfloor}}$.