Fonctions circulaires réciproques
Exercice 944. Démonstration
\\ Montrer que pour tout $x \in \R^*$, \[ \arctan{x} + \arctan\parenthese{\Frac{1}{x}} = \begin{cases} \frac{\pi}{2} \;\; si \;\; x >0 \\ -\frac{\pi}{2} \;\; si \;\; x < 0 \end{cases} \]Exercice 945. Démonstration
\\ Montrer que pour tout $x \in [-1,1]$, on a \[ \arcsin{x} + \arccos{x} = \ps{2} \]Exercice 946. Démonstration
\\ Montrer que pour tout $x \in [-1,1]$, \[ \sin(\arccos(x)) = \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2} \]Exercice 947. Démonstration
\\ Montrer que pour tout $x \in [0,1]$ : $\arcsin(\sqrt{x}) = \ps{4}+\Frac{1}{2}\arcsin(2x-1)$.Exercice 948. Démonstration
\\ Montrer que $\arctan\parenthese{\Frac{1}{7}}+2\arctan\parenthese{\Frac{1}{3}} = \ps{4}$.Exercice 949. Démonstration
\\- Montrer que si $ab<1$, $\arctan{a}+\arctan{b} = \arctan\parenthese{\Frac{a+b}{1-ab}}$. \\
- Etudier les deux cas où $ab > 1$.
Exercice 950. Simplifications n°1
\\ Calculer les expressions suivantes : \\- $\tan(\arcsin{x})$ \\
- $\tan(\arccos{x})$ \\
- $\tan(2\arctan{x})$
Exercice 951. Simplifications n°2
\\ Calculer $\cos(\arctan(x))$ et $\sin(\arctan(x))$ pour tout réel $x$.Exercice 952. Simplifications n°3
\\ Simplifier \\- $\arctan{\frac{1}{2}}+\arctan{\frac{1}{5}}+\arctan{\frac{1}{8}}$. \\
- $\arctan{2}+\arctan{3}+\arctan(2+\sqrt{3})$. \\
- $\arcsin{\frac{4}{5}}+\arcsin{\frac{5}{13}}+\arcsin{\frac{16}{65}}$.
Exercice 953. Simplifications n°4
\\ Donner le domaine de définition et simplifier l'expression suivante \[ \arctan\parenthese{\Frac{\cos{x}}{1-\sin{x}} } \]Exercice 954. Simplifications
\\ Simplifier $f(x) =\arcsin\parenthese{\Frac{2x}{1+x^2}}$.Exercice 955. Simplification
\\ On pose $f(x)=\arcsin\parenthese{\Frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$.\\ Déterminer une expression simple de $f$ de deux manières différentes.Exercice 956. Simplifications
\\ Montrer que pour tout $x\in ]-1\,;\,1]$, $\arctan\sqrt{\Frac{1-x}{1+x}}=\Frac{1}{2}\arccos(x)$ de deux manières différentes.Exercice 957. Simplifications
\\ Soit $k \in \Z$. Exprimer la fonction $f$ définie par \[ f(x) = \arcsin(\sin{x}) \] sur l'intervalle $I_k = \left[-\ps{2}+k\pi, \ps{2}+k\pi\right]$.Exercice 958. Equations
\\ Résoudre dans $\R$ les équations suivantes : \\- $\arccos{x} = \arcsin{2x}$ \\
- $\arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) = 2\arcsin(x)$ \\
- $\tan(3\arcsin(x)) = 1$ \\
- $\arctan(x)+\arctan(x\sqrt{3}) = \Frac{7\pi}{12}$ \\
- $\arccos(x) = 2\arccos\parenthese{\Frac{3}{4}}$ \\
- $\arccos(x) = \arccos\parenthese{\Frac{1}{4}} + \arcsin\parenthese{\Frac{1}{3}}$
Exercice 959. Equations
\\ Résoudre sur $\R$ l'équation $\arccos\parenthese{x+\Frac{1}{3}} = \arcsin\parenthese{x-\Frac{1}{3}}$.Exercice 960. Equations
\\ Résoudre sur $\R$ l'équation $\arcsin(x\sqrt{3}) = \ps{2}-\arcsin{x}$.Exercice 961. Equations
\\ Résoudre dans $\R$ les équations suivantes : \\- $\arctan(3-x)+\arctan(4-\frac{1}{x}) = \Frac{3\pi}{4}$. \\
- $\arcsin(\tan{x}) = x$. \\
- $2\arcsin{x} = \arccos(3x)$. \\
- $\arcsin\parenthese{\Frac{2x}{1+x^2}} = \arctan(x)$.
Exercice 962. Equations
\\ Résoudre l’équation d’inconnue réelle $x$ : \[ \mathrm{Arctan}(x-1)+\mathrm{Arctan}(x)+\mathrm{Arctan}(x+1)=\Frac{\pi}{2} \]Exercice 963. Sommes
\\ On pose, pour $n \in \N$,\\ \[ S_n=\Sum_{p=0}^{n} \mathrm{Arctan}\parenthese{\Frac{1}{p^2+p+1}}. \]- Montrer que, pour tout $p \in \N$,\\ \[ \mathrm{Arctan}(p+1)-\mathrm{Arctan}(p) = \mathrm{Arctan}\parenthese{\Frac{1}{p^2+p+1}}. \]
- Étudier convergence et limite de la suite $(S_n)$.
Exercice 964. Sommes
\\ Soit $k \in \N^*$. \\- Calculer $\arctan\parenthese{\Frac{k}{k+1}}-\arctan\parenthese{\Frac{k-1}{k}}$. \\
- En déduire $\limn \Sum_{k=1}^{n} \arctan\parenthese{\Frac{1}{2k^2}}$.
Exercice 965. Etude de fonction
\\ Soit $f$ et $g$ définies par $f(x) = \arctan(\sh(x))$ et $g(x) = \arctan\parenthese{\Frac{\sh(x)}{1+\ch(x)}}$. \\- Etablir une relation entre $f$ et $g$ sur un intervalle à préciser. \\
- En calculant $f(\frac{\ln{3}}{2})$ et $g(\frac{\ln{3}}{2})$, la tangente de quel angle peut-on en déduire ?