Exercices divers

Exercice 791. Montrer que si $f$ est une fonction dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$.
Exercice 792. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : \\
  • $f(x) = \arccos(-5x^3)$ \\
  • $f(x) = \arcsin(-2x^2)$ \\
  • $f(x) = \arctan(2x^4)$
Exercice 793. Montrer que, pour tout $x \in \R$, on a $\left| \arctan(\sh(x)) \right| = \arccos\left( \dfrac{1}{\ch(x)} \right)$.

Exercice 794. Fonction Lipschitzienne

\\ On dit que $f$ est $1$-lipschitzienne si pour tout $x,y \in \mathscd{D}_f$, $\abs{f(x)-f(y)} \leqslant \abs{x-y}$. \\ On sait que pour tout $x \in \R$, $\abs{\sin{x}} \leqslant \abs{x}$. \\ Montrer que $\sin $ est $1$-lipschitzienne.
Exercice 795.
  1. Calculer $\integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+t^2}}{t}$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $\integrale{0}{1}{\Sum_{k=0}^{n}(-1)^kt^{2k}}{t} = \ps{4} + \integrale{0}{1}{\Frac{(-1)^nt^{2n+2}}{1+t^2}}{t}$. \\
  3. Justifier que $0 \leqslant \integrale{0}{1}{\Frac{t^{2n+2}}{1+t^2}}{t} \leqslant \integrale{0}{1}{t^{2n+2}}{t}$. \\
  4. En déduire \[ \Sum_{k=0}^{+\infty} \Frac{(-1)^k}{2k+1} = \ps{4} \]

Exercice 796. oral HEC

\\ Soit $f$ définie par $\forall x \in \R$, $f(x) = \Frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$. \\ Montrer que $f$ est une bijection de $\R$ dans $\R$ et déterminer $(f^{-1})'$.

Exercice 797. Oral HEC

\\ Soit $n \in \N^*$ et $P_n(x) = x^n+x-1$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, il existe un unique $x_n \in ]0,1[$ tel que $P_n(x) = 0$. \\
  2. Etudier la monotonie de $(x_n)$. \\
  3. Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel que l'on précisera. \\
  4. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $1-x_n \leqslant \Frac{\ln{n}}{n}$.
Exercice 798. Montrer que pour tout $x \in \R^*$, $\arctan{x} + \arctan{\Frac{1}{x}} = \ps{2}$ si $x >0$ et $-\ps{2}$ si $x < 0$.
Exercice 799. Soit $f$ définie par $f(x) = \arctan(x)+2x$. \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. \\
  2. Dresser le tableau de variations de $f$. On précisera les limites au bord du domaine.
Exercice 800. Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x) = x \left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$. \\
  1. Exprimer $f(x)$ pour $x > 1$. En déduire $\limplus f(x)$. \\
  2. Exprimer $f(x)$ pour $x < -1$. En déduire $\limoins f(x)$. \\
    1. Montrer que pour tout $x > 0$, $1-x < f(x) \leqslant 1$. En déduire que $f$ admet une limite à droite en $0$. \\
    2. Montrer de même que $f$ admet une limite à gauche en $0$.
Exercice 801. Montrer que, pour tout $x>0$ (et $x \neq 1$), on a l’inégalité \[ \Frac{x\ln(x)}{x^2-1}<\Frac{1}{2}. \] \\
Exercice 802.
  1. Étudier (domaine de définition, variations, limites, courbe) la fonction $f:x \mapsto \Frac{1}{x}e^{\Frac{1}{x}}$.\\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, l’équation $f(x)=\Frac{1}{n}$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$ avec $0 < u_n < 1 < v_n$.\\
  3. Calculer $\limn u_n$ et $\limn v_n$.\\
Exercice 803. On considère l’application $f$ définie par $f(x)=x \exp{{\Frac{x^2}{x^2-1}}}$.\\
  1. Indiquer le domaine de définition de $f$. Que dire de la dérivabilité de $f$ sur ce domaine ? Préciser les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.\\
  2. Étudier le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
Exercice 804. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\exp(\sqrt{x^2-1})$.\\
  1. Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.\\
  2. Déterminer la parité de $f$.\\
  3. Expliciter le sens de variations de $f$, y compris ses limites aux bornes de son domaine de définition.
Exercice 805. Considérons l’application $f:x \mapsto \Frac{x^3}{x-1}e^{\Frac{1}{x}}$.\\
  1. Étudier (domaine de définition, dérivabilité, variations, limites) la fonction $f$.\\
  2. Montrer que $f$ admet une asymptote oblique d’équation $y=x-1$ lorsque $x \to +\infty$.\\
  3. Tracer l’allure de la courbe de $f$.
Exercice 806. Considérons l’application $f:x \mapsto \sqrt{\Frac{x^3}{x-1}}$.\\
  1. Étudier (domaine de définition, dérivabilité, variations, limites) la fonction $f$.\\
  2. Montrer que $f$ admet une asymptote oblique d’équation $y=x+\Frac{1}{2}$ lorsque $x \to +\infty$.\\
  3. Tracer l’allure de la courbe de $f$.