Fonctions Hyperboliques

Exercice 930. Résoudre $\th(x) = \Frac{1}{2}$.
Exercice 931. Résoudre $\ch(x)=2$.
Exercice 932. Résoudre $\sh(x)=2$.
Exercice 933. Montrer que $\forall x \in \R_+, \sh(x) \geqslant x$ et $\forall x \in \R, \; \ch(x) \geqslant 1 + \dfrac{x^2}{2}$.
Exercice 934. Soit $y \in \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right[$. \\ On pose $x = \ln\left(\tan\left( \dfrac{y}{2} + \dfrac{\pi}{4} \right)\right)$. \\ Montrer que $\th\left(\dfrac{x}{2}\right) = \tan\left(\dfrac{y}{2}\right), \quad \th(x) = \sin(y), \quad \ch(x) = \dfrac{1}{\cos(y)}$.
Exercice 935. \\
  1. Montrer que $ch''(x) = ch(x)$. \\
  2. On pose $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2-1})$ définie pour tout $x \geqslant 1$. \\
    1. Montrer que $\forall x \geqslant 1$, $ch \circ f(x) = x$. \\
    2. On admet que pour tout réel $x$, $ch(x) \geqslant 1$. Montrer que $f \circ ch(x) = x$.
Exercice 936. Après avoir montré que pour tout réel $x$ non nul, $\th(x) = \Frac{2}{\th(2x)}-\Frac{1}{\th(x)}$, déterminer la valeur de la somme $\Sum_{k=0}^{n-1} 2^k \th(2^k x)$.
Exercice 937. Soit $n \in \N$ et $a,b \in \R$. \\ Calculer les sommes suivantes :\\
  • $\Sum_{k=0}^{n} \ch(a + kb)$ \\
  • $\Sum_{k=0}^{n} \sh(a + kb)$.
Exercice 938. Soit $n \in \N$ et $x \in \R$. \\ On définit $P_n(x) = \Prod_{k=1}^{n} \ch\left( \dfrac{x}{2^k} \right)$.\\ Simplifier $P_n(x)$ en exprimant $P_n(x) \cdot \sh\left( \dfrac{x}{2^n} \right)$.
Exercice 939. Soient $n \in \N$ et $x \in \R_+^*$. \\
  1. Montrer que $\th\left((n+1)x\right) - \th(nx) = \dfrac{\sh(x)}{\ch(nx)\ch((n+1)x)}$.\\
  2. En déduire la valeur de $S_n(x) = \Sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\ch(kx)\ch((k+1)x)}$.

Exercice 940. Système avec ch et sh

\\ Soient $a \in \R$ et $\alpha \in \R$. Résoudre le système suivant d’inconnues $(x,y)$ : \[ \left\{ \begin{array}{l} \ch(x) + \ch(y) = 2a \ch(\alpha) \\ \sh(x) + \sh(y) = 2a \sh(\alpha) \end{array} \right. \]
Exercice 941. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln(\ch(x))$. \\
  1. Justifier que $f$ est bien définie. \\
  2. Etudier le signe et les variations de cette fonction. \\
  3. Soit $x_0 \in \R$. Ecrire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$. On note $b(x_0)$ son ordonnée à l'origine. \\
  4. Etudier la fonction $b$.

Exercice 942. Fonction $\mathrm{argsh}$

\\
  1. Soit $x \in \R$. Montrer qu'il existe un unique $t \in \R$ tel que $\sh(t) = x$. On appelle $t$ l'argument sinus hyperbolique de $x$ et on le note $\mathrm{argsh}(x)$. La fonction $\mathrm{argsh}$ est ainsi la bijection réciproque de $\sh$. \\
  2. Déterminer une expression de $\mathrm{argsh}$. \\
  3. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\mathrm{argsh}(2x\sqrt{x^2+1}) = 2\mathrm{argsh}(x)$.

Exercice 943. Fonction $\mathrm{argch}$

\\
  1. Montrer que pour tout $y \in [1,+\infty[$, il existe un unique $x \in \R_+$ tel que $ch(x)=y$. On cherchera une expression explicite. On nomme la fonction qui à $y \in \R_+$ associe l'unique $x \in \R_+$ tel que $ch(x)=y$ "argument cosinus hyperbolique" notée $\mathrm{argch}$. \\
  2. Déterminer les variations de $\mathrm{argch}$. \\
  3. Dériver $\mathrm{argch}$. \\
  4. Simplifier les expressions suivantes : \\
    1. $\ch(\mathrm{argch}(x))$ \\
    2. $\mathrm{argch}(\ch(x))$ \\
    3. $\sh(\mathrm{argch}(x))$.