Fonctions Hyperboliques
Exercice
936. Résoudre $\th(x) = \Frac{1}{2}$.
Exercice
937. Résoudre $\ch(x)=2$.
Exercice
938. Résoudre $\sh(x)=2$.
Exercice
939. Montrer que $\forall x \in \R_+, \sh(x) \geqslant x$ et $\forall x \in \R \ch(x) \geqslant 1 + \dfrac{x^2}{2}$.
Exercice
940. Soit $y \in \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right[$. \\
On pose $x = \ln\left(\tan\left( \dfrac{y}{2} + \dfrac{\pi}{4} \right)\right)$. \\
Montrer que $\th\left(\dfrac{x}{2}\right) = \tan\left(\dfrac{y}{2}\right), \quad \th(x) = \sin(y), \quad \ch(x) = \dfrac{1}{\cos(y)}$.
Exercice
941. \\
- Montrer que $ch''(x) = ch(x)$. \\
- On pose $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2-1})$ définie pour tout $x \geqslant 1$. \\
- Montrer que $\forall x \geqslant 1$, $ch \circ f(x) = x$. \\
- On admet que pour tout réel $x$, $ch(x) \geqslant 1$. Montrer que $f \circ ch(x) = x$.
Exercice
942. Soit $n \in \N$ et $a,b \in \R$. \\
Calculer les sommes suivantes :\\
- $\Sum_{k=0}^{n} \ch(a + kb)$ \\
- $\Sum_{k=0}^{n} \sh(a + kb)$.
Exercice
943. Soit $n \in \N$ et $x \in \R$. \\
On définit $P_n(x) = \Prod_{k=1}^{n} \ch\left( \dfrac{x}{2^k} \right)$.\\
Simplifier $P_n(x)$ en exprimant $P_n(x) \cdot \sh\left( \dfrac{x}{2^n} \right)$.
Exercice
944. Soient $n \in \N$ et $x \in \R_+^*$. \\
- Montrer que $\th\left((n+1)x\right) - \th(nx) = \dfrac{\sh(x)}{\ch(nx)\ch((n+1)x)}$.\\
- En déduire la valeur de $S_n(x) = \Sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\ch(kx)\ch((k+1)x)}$.