Tangentes et droites
Exercice 165. Déterminer l'équation d'une tangente
\\ Soit $f$ définie et dérivable sur $]-\infty;1[$ par $f(x) = \Frac{e^x}{x-1}$.\\ Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.Exercice 166. Déterminer l'équation d'une tangente n°2
\\ On sait que la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ passe par $A(2;0)$ et $B(-2;3)$. \\ Déterminer l'équation de $(T)$.Exercice 167. Déterminer l'équation d'une tangente n°3
\\ On sait que la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point $A(0;1)$ est parallèle à la droite d'équation $y = -3x-10$. \\ Déterminer l'équation de $(T)$.Exercice 168. Tangente à paramètre
\\ Pour tout réel $m$, on note $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par $ f_m(x) = (x+m)e^{-x}$.\\ Montrer que la tangente $T_m$ à la courbe de $f_m$ au point d'abscisse 0 a pour équation réduite $y = (1-m)x+m$.Exercice 169. Exploiter des informations
\\ Soit $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = e^x \; \text{ et } \; g(x) = 1-e^{-x}$.\\ On suppose qu'il existe deux tangentes communes à $\Cf$ et $\Cg$. On note $D$ l'une d'entre elles. \\ Cette droite est tangente à la courbe $\Cf$ au point $A$ d'abscisse $a$ et tangente à la courbe $\Cg$ au point $B$ d'abscisse $b$. \\- Montrer que $b=-a$. \\
- Montrer que le réel $a$ est solution de l'équation $2(x-1)e^x+1=0$.
Exercice 170. Exploiter des informations n°2
\\ Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = xe^{-x}$.\\ Soit $a$ un réel dans $\Rp$ et $A$ le point de $\Cf$ d'abscisse $a$. \\ On note $T_a$ la tangente à $\Cf$ en $A$. \\- Démontrer qu'une équation réduite de la tangente $T_a$ est $y = [(1-a)e^{-a}]x+a^2e^{-a}$. \\
- On note $H_a$ le point d'intersection de $T_a$ et de l'axe des ordonnées. On note $g(a)$ l'ordonnée de $H_a$. Que vaut $g(a)$ ?
Exercice 171. Exploiter des informations n°3
\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\Rpe$ par $f(x) = \Frac{e^x}{x}$.\\ On note $A$ un point d'abscisse $a$ de $\Cf$ en lequel la tangente à $\Cf$ est parallèle à la droite $\Delta : y = -x$. \\ Montrer que $a$ est solution de l'équation $e^x(x-1)+x^2=0$.Exercice 172. Exploiter des informations n°4
\\ Soit $f(x) = xe^{x-1}+1$ définie sur $\R$. \\ Soit $a > 0$ un réel. On appelle $T_a$ la tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $a$. \\ Démontrer qu'une tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $a>0$ passe par l'origine du repère si et seulement si $1-a^2e^{a-1}=0$.Exercice 173. Exploiter des informations n°5
\\ $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = ax+be^x+e^{-x}$ avec $(a,b)\in \R^2$. \\ On sait que : \\- La courbe de $f$ passe par le point $C(0;4)$. \\
- La tangente à la courbe de $f$ au point $C$ passe par $D(2;0)$. \\
Exercice 174. Exploiter des informations n°6
\\ Soit $f(x) = e^x-x-1$ et soit $a$ un nombre réel. \\- Ecrire en fonction de $a$, une équation de la tangente $T$ à $\Cf$ au point $M$ d'abscisse $a$. \\
- Cette tangente $T$ coupe la droite $(d)$ d'équation $y=-x-1$ au point $N$ d'abscisse $b$. \\ Vérifier que $b-a=-1$.
Exercice 175. Exploiter des informations n°7
\\ On considère la fonction $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = \Frac{a}{1+e^{-bx}}$ avec $a$ et $b$ deux réels. \\- La courbe $\Cf$ passe par le point $A(0;\frac{1}{2})$. \\
- La tangente à $\Cf$ au point $A$ passe par le point $B(10;1)$. \\
Exercice 176. Exploiter des informations n°8
\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (ax+b)e^{\lambda x}$ avec $a$, $b$ et $\lambda \in \R$. \\ On sait que : \\- la tangente à $\Cf$ au point $N(0;2)$ passe par le point $P(2;0)$. \\
- $M(-2;0)$ appartient à $\Cf$. \\
- $f$ est strictement positive sur $\Rp$ et strictement croissante sur $]-\infty,-1]$. \\
Exercice 177. Tangente parallèle
\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x+1+xe^{-x}$.\\ Soit $\Cf$ la courbe de $f$ et $(d)$ la droite d'équation $y = x+1$. \\ La courbe $\Cf$ admet en un point $A$ une tangente parallèle à la droite $(d)$. Déterminer les coordonnées de $A$.Exercice 178. Tangente parallèle n°2
\\ Soit $g$ la fonction définie sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$ par $g(x) = \Frac{-2x}{x-2}$.\\ On note $\mathcal{H}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal. \\- Soit $A$ un point de $\mathcal{H}$ d'abscisses $a \in \R$ avec $a \neq 2$. \\ Déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{H}$ au point $A$ en fonction de $a$. \\
- Soit $m \in \R$. On note $(D_m)$ la droite d'équation $y=mx$. \\ Discuter, en fonction de $m$, du nombre de point de $\mathcal{H}$ pour lesquels la tangente est parallèle à la droite $(D_m)$.
Exercice 179. Existence de tangente
\\ $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \sqrt{x^2+4}$. On note $\Cc$ sa courbe représentative. \\- Soit $a$ un réel. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Cc$ au point d'abscisse $a$. \\
- Existe-t-il une tangente à la courbe $\Cc$ parallèle à la droite d'équation $y=-0,5x$ ?\\
- Existe-t-il une tangente à la courbe $\Cc$ passant par l'origine du repère ?