Exponentielles, Logarithmes, Puissances

Exercice 916. Equation avec des fonctions puissance

\\ Résoudre l'équation pour tout réel $x > 0$, $x^{(x^x)} = (x^x)^x$.
Exercice 917. \\ Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ : $x \mapsto (1+x)^x$. \\ En déduire que pour tout $x > - 1$, $(1+x)^x > 1$.

Exercice 918. Inégalité logarithmique

\\ Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$, $\left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant e \leqslant \left(1 - \dfrac{1}{n} \right)^{-n}$.

Exercice 919. Inégalité logarithmique n°2

\\ Soit $a,b \in \R_+^{*}$. \\
  1. Montrer que $\sqrt{ab} \leqslant \Frac{a+b}{2}$. \\
  2. En déduire que $\Frac{1}{2}(\ln{a}+\ln{b}) \leqslant \ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}}$.

Exercice 920. Limites et fonctions puissances

\\ Calculer $\limplus (x^x)^x-x^{2^x}$

Exercice 921. Limites et fonctions puissances n°2

\\ Calculer les deux limites suivantes $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{x^x}$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (x^x)^x$.

Exercice 922. Comparaison de nombres

\\
  1. Déterminer les couples $(a,b)$ d'éléments de $\N^*$ vérifiant $a < b$ et $a^b = b^{a}$. \\
  2. Déterminer sans calculatrice le plus petit des deux réels $e^{\pi}$ et $\pi^{e}$.

Exercice 923. Inégalités logarithmiques n°3

\\
  1. Justifier que la fonction $\ln$ est concave. \\ Quels que soient les réels $a > 0$ et $b>0$, en déduire que $\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \geqslant \Frac{\ln{a}+\ln{b}}{2}$.\\
  2. Quels que soient les réels $a>1$ et $b>1$, en déduire les inégalités suivantes : \\
    • $\ln\parenthese{\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}}} \geqslant \Frac{\ln(\ln{a})+\ln(\ln{b})}{2}$. \\
    • $\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \geqslant \sqrt{\ln{a}\times \ln{b}}$.

Exercice 924. Inégalités logarithmiques n°4

\\ Pour $0 < a \leqslant b$, on note $f(x) = \Frac{\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)}$ définie sur $\R_+^*$. \\ En étudiant $f$, montrer que \[ \ln\parenthese{1+\Frac{a}{b}}\ln\parenthese{1+\Frac{b}{a}} \leqslant (\ln{2})^2 \]

Exercice 925. Inégalités logarithmiques n°5

\\ Démontrer pour tout $x \in [0,2[$, pour tout $\alpha \in \Rpe$, que $\parenthese{1+\Frac{x}{\alpha}}^{\alpha} \leqslant \Frac{2+x}{2-x}$. \\ On pourra poser $\varphi(x) = \ln\parenthese{\Frac{2+x}{2-x}}-\ln\parenthese{1+\Frac{x}{\alpha}}^{\alpha}$.

Exercice 926. Système d'exponentielles

\\ Résoudre le système $(S) : \begin{cases} e^x + e^y = 5 \\ e^{-x}+e^{-y} = 3 \end{cases}$.
Exercice 927. Montrer que le nombre de chiffres dans l'écriture décimale d'un entier $n$ strictement positif est $\lfloor \log_{10}n +1 \rfloor$.
Exercice 928.
  1. Montrer que pour tout réel $x,y \in ]0,1[$, on a $x^y \geqslant \Frac{x}{x+y}$. \\
  2. En déduire que pour tout $(x,y) \in ]0,1[$, $x^y + y^x \geqslant 1$.
Exercice 929.
  1. Montrer que \[ \forall (x,y) \in \R_+^* \times \R, \;\; xy \leqslant x \ln{x} + e^{y-1} \]
  2. En déduire trois applications $f,g : \R_+^* \to \R$, $h : \R \to \R$ telles que \[ \forall (x,y,z) \in (\R^*_+)^2 \times \R, \;\; xyz \leqslant f(x)+g(y)+h(z) \]