Exponentielles, Logarithmes, Puissances

Exercice 922. Établir, pour tout $x \geqslant 0$, l'encadrement : \[ x - \dfrac{1}{2}x^2 \leqslant \ln(1+x) \leqslant x \]

Exercice 923. Fonction puissance

\\ Soit $f(x) = x^{x}$. \\
  1. Justifier que cette fonction est continue à droite en $x=0$. \\
  2. Est-elle dérivable en $x=0$ ? \\
  3. Etudier les variations de $f$ sur $\Rp$. \\
  4. Montrer que $f$ est convexe. \\
  5. En déduire pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $4\parenthese{\Frac{a+b}{2}}^{a+b} \leqslant (a^a+b^b)^2$.
Exercice 924. \\ Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ : $x \mapsto (1+x)^x$. \\ En déduire que pour tout $x > - 1$, $(1+x)^x > 1$.

Exercice 925. Equation avec des fonctions puissance

\\ Résoudre l'équation pour tout réel $x > 0$, $x^{(x^x)} = (x^x)^x$.

Exercice 926. Suite tendant vers l'exponentielle

\\ Soient $n \in \N^*$ et $x \in ]-n,+\infty[$. \\ Nous considérons la suite $\un$ définie par $u_n = \parenthese{1+\Frac{x}{n}}^n$.\\
  1. On pose $v_n = \ln(u_n)$. \\ Quelle est la limite de $\vn$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ? \\
  2. En déduire que, pour tout réel $x$, $\limn u_n = e^x$.

Exercice 927. Inégalité logarithmique

\\
  1. Montrer que pour tout $x > -1$, on a $\ln(1+x) \leqslant x$. \\
  2. En déduire que pour tout $n \in \N \setminus \{0,1\}$ : \[ \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant e \leqslant \left(1 - \dfrac{1}{n} \right)^{-n} \]

Exercice 928. Inégalité logarithmique n°2

\\ Soit $a,b \in \R_+^{*}$. \\
  1. Montrer que $\sqrt{ab} \leqslant \Frac{a+b}{2}$. \\
  2. En déduire que $\Frac{1}{2}(\ln{a}+\ln{b}) \leqslant \ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}}$.

Exercice 929. Limites et fonctions puissances

\\ Calculer $\limplus (x^x)^x-x^{2^x}$

Exercice 930. Limites et fonctions puissances n°2

\\ Calculer les deux limites suivantes $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{x^x}$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (x^x)^x$.

Exercice 931. Comparaison de nombres

\\
  1. Etudier la fonction $f$ : $x \in \R^{+*} \mapsto \Frac{\ln{x}}{x}$. \\
  2. En déduire les couples $(a,b)$ d'éléments de $\N^*$ vérifiant $a < b$ et $a^b = b^{a}$. \\
  3. Déterminer sans calculatrice le plus petit des deux réels $e^{\pi}$ et $\pi^{e}$.

Exercice 932. Inégalités logarithmiques n°3

\\
  1. Justifier que la fonction $\ln$ est concave. \\ Quels que soient les réels $a > 0$ et $b>0$, en déduire que $\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \geqslant \Frac{\ln{a}+\ln{b}}{2}$.\\
  2. Quels que soient les réels $a>1$ et $b>1$, en déduire les inégalités suivantes : \\
    • $\ln\parenthese{\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}}} \geqslant \Frac{\ln(\ln{a})+\ln(\ln{b})}{2}$. \\
    • $\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \geqslant \sqrt{\ln{a}\times \ln{b}}$.

Exercice 933. Inégalités logarithmiques n°4

\\ Pour $0 < a \leqslant b$, on note $f(x) = \Frac{\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)}$ définie sur $\R_+^*$. \\
  1. Etudier les variations de $f$. \\
  2. En déduire que $a \leqslant b \implies f\parenthese{\Frac{1}{b}} \leqslant f\parenthese{\Frac{1}{a}}$. \\
  3. En déduire que $\ln\parenthese{1+\Frac{a}{b}}\ln\parenthese{1+\Frac{b}{a}} \leqslant (\ln{2})^2$.

Exercice 934. Inégalités logarithmiques n°5

\\ Démontrer pour tout $x \in [0,2[$, pour tout $\alpha \in \Rpe$, que $\parenthese{1+\Frac{x}{\alpha}}^{\alpha} \leqslant \Frac{2+x}{2-x}$. \\ On pourra poser $\varphi(x) = \ln\parenthese{\Frac{2+x}{2-x}}-\ln\parenthese{1+\Frac{x}{\alpha}}^{\alpha}$.

Exercice 935. Système d'exponentielles

\\ Résoudre le système $(S) : \begin{cases} e^x + e^y = 5 \\ e^{-x}+e^{-y} = 3 \end{cases}$.