Exercices supplémentaires

Exercice 560. Une classe compte $30$ élèves dont $20$ filles. A chaque cours de maths, le prof interroge au hasard un élève de la classe, sans se rappeler quels élèves il a déjà interrogés. \\ \\ On considère un entier positif ou nul $n$ et on note $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de filles interrogées au cours de $n$ jours consécutifs. \\ \\
  1. Quelle est la loi de $X$ ? \\ \\
    1. Donner la probabilité que sur $10$ jours consécutifs, soient interrogées $4$ filles exactement. \\ \\
    2. même question pour au moins $4$ filles. \\ \\
  3. Déterminer en fonction du nombre $n$ de cours, la probabilité qu'aucune fille ne soit interrogée. \\ \\ Cette probabilité augmente-t-elle avec le nombre de cours ? ou diminue-t-elle ? \\ \\
  4. Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu'aucune fille ne soit interrogée soit inférieure à $0,001$ ?
Exercice 561. Une usine produit des pots de confiture dont la masse doit être de $500$ grammes. \\ Le service de qualité de l'entreprise vérifie régulièrement quelques pots et sait que le matériel utilisé permet d'affirmer qu'un pot sur cinq a une masse inférieure à $490$ grammes. \\ \\ On prélève dans la production $20$ pots et on juge que la production est assez importante pour se permettre d'assimiler cette expérience à un tirage avec remise. \\ La variable aléatoire $X$ compte le nombre de pots jugés "défectueux" dans cet échantillon. \\
  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres. \\
  2. Calculer la probabilité que l'on obtienne entre $1$ et $3$ pots défectueux. \\
  3. Combien de pots faudrait-il prélever pour que la probabilité qu'il y ait au moins un pot défectueux soit d'au moins $99$% ?
Exercice 562. On considère l'expérience suivante : on lance $10$ fois de suite un dé bien équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. \\ On appelle $X$ la variable aélatoire qui prend la valeur correspondant au nombre de fois où la face $1$ apparaît. \\
  1. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \\
  2. Quelle est la probabilité de l'événement $X=1$ ?\\
  3. Quelle est la probabilité que la face $1$ apparaisse au moins une fois ? \\
  4. On lance le même dé $n$ fois de suite et on s'interesse encore à la même variable $X$. \\
    1. $X$ suit-elle toujours une loi binomiale ? Si oui, préciser les paramètres. \\
    2. Donner, en fonction de $n$, la probabilité de l'événement $X=0$. \\
    3. Quelle est la probabilité, en fonction de $n$, que la face $1$ apparaisse au moins une fois ? \\
    4. Donner la valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité que la face $1$ apparaisse au moins une fois ? \\
    5. Donner la valeur minimale de $n$ pour laquelle la probabilité que la face $1$ apparaisse au moins une fois soit supérieure à $0,999$.
Exercice 563. Une urne contient des boules indiscernables au toucher. \\ $20\%$ des boules portent le numéro 1 et sont rouges. \\ Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, $10\%$ sont rouges et les autres sont vertes. \\
  1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit rouge ? \\
  2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. \\ Montrer que la probabilité qu’elle porte le numéro $2$ est égale à $\Frac{2}{7}$. \\
  3. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. \\ On effectue $n$ tirages successifs d’une boule avec remise (après chaque tirage, la boule est remise dans l’urne). \\
    1. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro $1$ au cours des $n$ tirages. \\
    2. Déterminer l’entier $n$ à partir duquel la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro $1$ au cours des $n$ tirages est supérieure ou égale à $0,99$.