Variables aléatoires

Exercice 1157. Soit $p \in \N$ et $X$ une variable aléatoire répartie uniformément sur les nombres pairs de $0$ à $2p$. \\

1. Combien y-a-t-il de nombre pairs entre $0$ et $2p$ ? \\
2. En déduire la loi de $X$. \\ On donnera la valeur de $P(X=2i)$ pour tout $i \in \llbracket 0, p \rrbracket$. \\
3. Calculer $\mathbb{E}[X]$. \\
4. On admet que $\mathbb{E}[X^2] = \Sum_{i=0}^{p} (2i)^2 \times \Frac{1}{p+1}$. \\ Calculer $\mathbb{V}(X)$.

Exercice 1158. Une urne contient $n$ boules ; deux sont blanches, les autres sont noires. Elles sont, à part cela, identiques et on suppose que les tirages sont tels que chaque boule a la même probabilité d’être tirée.\\ On vide l’urne en tirant les $n$ boules, une à une, sans les remettre. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au rang de la première boule blanche tirée.\\

1. Quel est l’ensemble des valeurs prises par $X$ ?\\
2. Calculer la loi de probabilité de $X$.\\
3. Calculer l’espérance mathématique de $X$ pour la loi obtenue ; que représente ce résultat ?\\

On rappelle que $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \Frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.