Probabilités, conditionnelles, binomiales
Exercice
1154. Soit $p \in \N$. \\
Un joueur possède $p$ euros et joue à un jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée : \\
- si le jour obtient pile, il gagne $1$ euro, sinon il perd $1$ euro. \\
- si le joueur tombe a $0$ euros, il perd le jeu. \\
- si le joueur possède $N$ euros, il remporte la partie et arrête de jouer. \\
- Justifier que l'on peut admettre $u_0 = 1$ et $u_N = 0$. \\
- On note $U_p$ l'évènement : "le joueur a 0 euro en ayant eu $p$ euros au départ du jeu" avec $0 \leqslant p \leqslant N$. \\
On note $P$ l'évènement : "le premier lancer est pile". \\
- Montrer que pour tout $p \in \llbracket 0,N-1 \rrbracket$, $u_p = \Frac{1}{2}u_{p+1}+\Frac{1}{2}u_{p-1}$. \\
- On admet qu'il existe $a$ et $b \in \R$ tels que pour tout $p \in \llbracket 0,N \rrbracket$, $u_p = ap+b$. \\ Déterminer $u_p$ en fonction de $N$. \\
- Que vaut $\displaystyle \lim_{N \to +\infty} u_p$ ? \\
- Interpréter.
Exercice
1155. Une urne contient $19$ jetons numérotés de $1$ à $19$. On tire successivement et sans remise trois jetons. \\
Soit $k$ un entier quelconque tel que $3 \leqslant k < 17$. On considère les événements suivants : \\
- $A_k$ : « $k$ est le plus petit numéro de jeton tiré ». \\
- $B_k$ : « $k$ est le plus grand numéro de jeton tiré ». \\
- Calculer $p(A_8)$ et $p(B_8)$. \\
- Pour quelle(s) valeur(s) de $k$ a-t-on $p(A_k) = p(B_k)$ ?
Exercice
1156. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p$ inconnu. On note $q=1-p$. \\ \\
- Donner les valeurs des coefficients binomiaux $\displaystyle \binom 4 1 $ et $\displaystyle \binom 4 2 $. \\ \\
- On note $a = P(X=1)$. Exprimer $a$ en fonction de $p$ et $q$. \\ \\
- On note $b = P(X=2)$. Exprimer $b$ en fonction de $p$ et $q$. \\ \\
- Montrer que $3ap = 2bq$ puis en déduire l'expression de $p$ en fonction de $a$ et $b$. \\ \\
- On donne $P(X=1) = 0,37006956$ et $P(X=2) = 0,32601366$. Calculer $p$.