Exercices

Exercice 1144. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to \pi} \Frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}$.
Exercice 1145. Calculer $\limz \Frac{\cos{x}-1}{\sin{x}}$
Exercice 1146. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = e^{-x}\cos(4x)$. \\ On pose $g(x)= e^{-x}$. \\
  1. Déterminer $\limplus f(x)$. \\
    1. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes $\Cf$ et $\Cg$. \\
    2. Montrer que les courbes $\Cf$ et $\Cg$ ont la même tangente en chacun de leurs points communs. \\
  3. Soit $\un$ définie par $u_n = f\parenthese{n\ps{2}}$. \\
    1. Montrer que $\un$ est géométrique. \\
    2. En déduire le sens de variation de $\un$ puis étudier sa convergence.
Exercice 1147. On définit la fonction tangente par $\tan{x} = \Frac{\sin{x}}{\cos{x}}$. \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_t$ de $\tan$. \\
  2. Montrer que pour tout $x \in \mathcal{D}_t$, $(\tan{x})' = 1+\tan^2{x}$.
Exercice 1148. Soit $x \in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[$. \\ On admet que $\Frac{\cos{3x}}{\cos{x}} = \Frac{1}{2}$. \\
  1. Montrer que pour tout réel $x$, $\cos{3x} = \cos{x}(4\cos^2{x}-3)$. \\
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $\sin{3x}=\sin{x}(4\cos^2{x}-1)$. \\
  3. En déduire la valeur de $\Frac{\sin{3x}}{\sin{x}}$.
Exercice 1149. Calculer $\limz \Frac{x\sin{x}}{1-\cos{x}}$. \\ On pourra multiplier le numérateur et le dénominateur par $(1+\cos{x})$.
Exercice 1150. Calculer $\limpz \Frac{1-\cos{x}}{3x^2}$. \\ On pourra multiplier le dénominateur et le numérateur par $(1+\cos{x})$.
Exercice 1151. \\
  1. Calculer $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$ pour $a,b \in \R$. \\
  2. Résoudre l'équation $\sin^6{x}+\cos^6{x} = \Frac{1}{4}$.
Exercice 1152. Soit $p \in \R$ tel que $\sin{p} \neq 0$. \\ On considère pour tout $n \geqslant 1$, le produit $P_n = \Prod_{k=1}^{n} \cos\parenthese{\Frac{p}{2^k}}$. \\
  1. Montrer que la suite $\un$ définie par $u_n = P_n\sin\parenthese{\Frac{p}{2^n}}$ est géométrique. \\ On pourra utiliser sans démonstration la formule $\sin{2a}=2\cos{a}\sin{a}$. \\
  2. En déduire une expression de $P_n$ en fonction de $n$ puis $\limn P_n$.
Exercice 1153. Soit $\un$ la suite définie sur $\N$ par $u_n = \tan(n)$. \\
  1. On admet que $\pi$ est irrationnel. \\ Montrer que la suite est définie pour tout $n \in \N$. \\
  2. Exprimer, à l'aide des formules d'additions, $\tan(1+n)$ en fonction de $\tan(n)$. \\
  3. Montrer que la suite $\un$ diverge, et n'admet pas de limite. (ni $+\infty$, ni $-\infty$). \\ On raisonnera par l'absurde. \\ On dira que la suite est divergente de seconde espèce.