Limites de suites

Exercice 1026. Montrer que la suite définie par $u_n = n(-1)^n$ n'admet pas de limite.
Exercice 1027. Déterminer la limite de $\parenthese{\Frac{2}{q}}^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ suivant les valeurs de $q$.
Exercice 1028. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites définies par $v_0 = 2$, $\forall n \in \N$, $u_n = \Frac{2}{v_n}$ et $v_{n+1} = \Frac{u_n+v_n}{2}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n$ et $v_n$ existent et sont strictement positifs. \\
  2. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $v_n - \sqrt{2} \geqslant 0$. \\ En déduire que $\forall n \geqslant 1$, $u_n \leqslant \sqrt{2} \leqslant v_n$. \\
  3. Montrer que $\un$ et $\vn$ convergent vers la même limite et la déterminer.
Exercice 1029. Soit $\un$ la suite définie par $u_n = \Frac{2^n}{n!}$ pour tout $ n\geqslant 1$. \\
  1. Montrer que $\un$ est décroissante et qu'elle converge vers un réel. \\
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 2$, $0 < u_n \leqslant \Frac{4}{n}$. \\
  3. En déduire la limite de la suite $\un$.
Exercice 1030. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+12}$. \\
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 4$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}-4 \leqslant \Frac{1}{4}(u_n-4)$. \\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N$, $0 \leqslant u_n-4 \leqslant \Frac{1}{4^n}$. \\
  4. En déduire que $\un$ converge vers une limite que l'on déterminera.
Exercice 1031. Soit $\un$ la suite définie sur $\N$ par $u_0 \in \Rp$ et $u_{n+1} = u_n + \sqrt{n+1} + \sin{u_n}$.\\
  1. Déterminer les variations de $\un$ puis montrer que tous les termes de la suite sont positifs ou nuls. \\
  2. Calculer $\limn u_n$.
Exercice 1032. Pour $n \in \N$, on pose $u_n = \displaystyle \binom{2n}{n}$. \\
  1. Pour $n \in \N$, simplifier le quotient $\Frac{u_{n+1}}{u_n}$. \\ En déduire que $u_{n+1} \geqslant 2u_n$. \\
  2. Montrer par récurrence que $u_{n+1} \geqslant 2^n$ pour $n \in \N$. \\
  3. En déduire $\limn u_n$.
Exercice 1033. La suite $\un$ est définie sur $\N^*$ par $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leqslant u_n \leqslant \Frac{1}{2\sqrt{n}}$. \\
    2. En déduire $\limn u_n$. \\
  2. La suite $\vn$ est définie par $v_n = \Frac{u_1+u_2+\hdots+u_n}{\sqrt{n}}$. \\ Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis donner la limite de $\vn$.
Exercice 1034. \\
  1. Montrer que pour tout $ k \in \N^*$, $\sqrt{k+1}-\sqrt{k} \leqslant \Frac{1}{2\sqrt{k}}$.
  2. En déduire le comportement en $+\infty$ de la suite définie par $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k}}$.
Exercice 1035. Soit $\un$ définie pour tout $n\geqslant 1$ par $u_n = 1 + \Frac{1}{\sqrt{2}}+\Frac{1}{\sqrt{3}} + \hdots + \Frac{1}{\sqrt{n}}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \geqslant \sqrt{n}$. \\
  2. En déduire $\limn u_n$.

Exercice 1036. Série hamonique

\\ Pour tout $n \in \N^*$, on considère $(H_n)$ la suite définie par $H_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$. \\
  1. Montrer que $H_{2n} - H_{n} \geqslant \Frac{1}{2}$.\\
  2. Montrer que $(H_n)$ est croissante.\\
  3. Montrer par l'absurde que $\limn H_n = +\infty$.

Exercice 1037. Série harmonique

\\ Soit $H_n$ la suite harmonique, définie pour tout $n \geqslant 1$, par $H_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$. \\ On admet que pour tout $x \in \Rpe$, $\ln{x} \leqslant x-1$. \\
  1. Montrer que la suite $(H_n-\ln{n})_{n \geqslant 1}$ est décroissante. \\
  2. On admet que $\forall n \in \N^*$, $\ln{n} \leqslant H_n \leqslant \ln{n}+1$. \\ Montrer que la suite $(H_n-\ln{n})_{n \geqslant 1}$ est convergente.
Exercice 1038. \\
  1. Montrer que, $\forall p \geqslant 2$, $\Frac{1}{p^2} \leqslant \Frac{1}{p-1}-\Frac{1}{p}$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \geqslant 2$, $ \Sum_{p=2}^{n}\Frac{1}{p^2} \leqslant 1$. \\
  3. En déduire que la suite $(S_n)$ de terme général $S_n = \Sum_{p=2}^{n}\Frac{1}{p^2}$ converge.
Exercice 1039. Soit $\un$ la suite définie par $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{ke^k}$. \\
  1. Déterminer le sens de variations de la suite $\un$. \\
  2. Justifier que pour tout $k \in \N^*$, $\Frac{1}{ke^k} \leqslant \Frac{1}{e^k}$. \\
  3. Démontrer que $\un$ converge.
Exercice 1040. \\
  1. Pour $n \in \N^*$, simplifier la somme $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ln\parenthese{1+\Frac{1}{k}}$ puis donner la limite quand $n \to +\infty$ de cette expression. \\
  2. Pour $n \geqslant 2$, simplifier la somme $\displaystyle \sum_{k=2}^{n} \ln\parenthese{1-\Frac{1}{k^2}}$ puis donner la limite de cette expression lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 1041. Déterminer $\limn \parenthese{1-\Frac{1}{2^2}}\parenthese{1-\Frac{1}{3^2}}\hdots \parenthese{1-\Frac{1}{n^2}}$.
Exercice 1042. On souhaite démontrer que $0,999\hdots = 1$. \\ Le nombre $0,999\hdots$ comporte des $9$ à l'infini. \\ On note $x = 0,999\hdots$\\
  1. Expliquer pourquoi $x$ est la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de la suite $(S_n)$ définie par $S_n = \sum_{k=1}^{n} \Frac{9}{10^{k}}$.\\
  2. Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.\\
  3. Calculer $\limn S_n$ puis conclure.
Exercice 1043. On considère le nombre $a : 0,63636363\hdots$ constitué d'une infinité de "63" après la virgule. On pose $a_n = 0,636363\hdots63$ constitué de $n$ fois le nombre 63 après la virgule. Ainsi $a_n$ contient $2n$ chiffres après la virgule. \\
  1. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$. \\
  2. Montrer que $a = \Frac{7}{11}$.
Exercice 1044. Soit un entier $p \geqslant 2$. On considère la suite $\un$ définie par $u_n = \cos{\Frac{2n\pi}{p}}$. \\
  1. Montrer que $\forall n \in \N$, $u_{n+p} = u_n$. \\
  2. Calculer $u_{np}$ et $u_{np+1}$. \\
  3. Montrer que $\un$ n'a pas de limite.
Exercice 1045. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites réelles telles que $(u_n+v_n)$ et $(u_n-v_n)$ convergent. Montrer que $\un$ et $\vn$ convergent.
Exercice 1046. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites, et soient $a$ et $b$ deux réels tels que $\forall n \in \N$, $u_n \leqslant a$ et $v_n \leqslant b$. \\ Montrer que si $\limn (u_n+v_n) = a+b$, alors $\limn u_n = a$ et $\limn v_n = b$. \\
Exercice 1047. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites à valeurs dans $[0,1]$ telles que $\limn u_nv_n = 1$. \\ Montrer que $\limn u_n = \limn v_n = 1$.
Exercice 1048. Soient $\alpha,\beta \in \R$ tels que $0 < \alpha < \beta$. \\
  1. Montrer que si $\alpha, \beta \in ]0,1[$, alors $\limn \alpha^n+\beta^n = 0$. \\
  2. Montrer que si $\limn \alpha^n+\beta^n = 0$, alors $\alpha, \beta\in ]0,1[$.
Exercice 1049. Montrer que la suite $\un$ définie par $u_n= \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{n+\sqrt{k}}$ converge et calculer sa limite.
Exercice 1050. Soit $\un$ la suite définie sur $\N^*$ par $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{n}{n^2+k}$.\\ Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{n}{n^2+n} \leqslant u_n \leqslant \Frac{n}{n^2+1}$ puis en déduire $\limn u_n$.