Sommes

Exercice 1022. Déterminer le sens de variations de la suite $\un$ définie par $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{ke^k}$.

Exercice 1023. Soit $\un$ une suite arithmétique de raison $r \neq 0$ et de premier terme $u_0 \neq 0$.\\

1. Montrer que pour tout $k \in \N$, $\Frac{r}{u_ku_{k+1}} = \Frac{1}{u_k}-\Frac{1}{u_{k+1}}$.\\
2. En sommant ces égalités, montrer que $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{u_ku_{k+1}} = \Frac{(n+1)}{u_0u_{n+1}}$.

Exercice 1024. d'après une Olympiade

\\ Soit $\un$ une suite définie sur $\N^*$ telle que :\\

• $u_1 = 2023$;\\
• pour tout entier $n \geqslant 1$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} u_k = n^2u_n$.\\

Calculer $u_{2023}$.

Exercice 1025. On pose, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n = \Sum_{k=0}^{n}e^{k^2}$. \\

1. Justifier que, pour tout $k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$, $e^{k^2} \leqslant e^{(n-1)^2}$. \\
2. En déduire l'inégalité $\Sum_{k=0}^{n}e^{k^2} \leqslant ne^{(n-1)^2}+e^{n^2}$. \\
3. Montrer que $1 \leqslant \Sum_{k=0}^{n}e^{k^2-n^2} \leqslant ne^{-2n+1}+1$. \\
4. En déduire $\limn \Sum_{k=0}^{n}e^{k^2-n^2}$.