Intégrales

Exercice 1130. Limite d'une suite d'intégrales

Exercice 1131. Limite d'une suite d'intégrales n°2

Exercice 1132. Suite d'intégrale

1. Montrer que pour tout naturel $n \geqslant 1$, $\integrale{1}{n}{\ln{x}}{x} \leqslant \ln(n!) \leqslant \integrale{1}{n+1}{\ln{x}}{x}$. \\
2. Déterminer une primitive de $\ln{x}$ à l'aide d'une intégration par parties. \\
3. Soit $\un$ définie pour tout $n\geqslant 2$ par $u_n = \Frac{\ln(n!)}{\ln(n^n)}$. \\ Montrer que $\un$ converge et déterminer sa limite.

Exercice 1133. Suite d'intégrale n°2

1. Calculer $I_1$. \\
2. Montrer que sur $[1,e]$, $0 \leqslant (\ln{x})^{n+1}\leqslant (\ln{x})^n$.\\ En déduire que $(u_n)$ est décroissante. \\
3. La suite $(u_n)$ converge-t-elle ?\\
4. Montrer que $\forall x \in [1,e]$, $\ln{x} -\Frac{x}{e} \leqslant 0$ puis en déduire que $\forall n \in \N$, $u_n \leqslant \Frac{1}{e^n(n+3)}$. \\ En déduire $\limn u_n$.\\
5. Montrer que $\forall n\geqslant 1$, $u_{n+1}=\Frac{e^3}{3}-\Frac{n+1}{3}u_n$ puis en déduire la limite de la suite $(nu_n)_{n \in \N}$.

Exercice 1134. Suite d'intégrale n°3

1. Montrer que la suite $(I_n)$ est croissante. \\
2. Montrer que $\forall n \in \N$, $I_n \leqslant \ln{2}$. \\
3. La suite est-elle convergente ? \\
4. On admet que $\ln{2} = \integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+t}}{t}$. \\ Ecrire $\ln{2}-I_n$ sous la forme d'une intégrale. \\
5. En déduire que pour tout $n \in \N$, $\ln{2}-I_n \leqslant \Frac{1}{n+1}$. \\
6. En déduire la limite de $(I_n)$.

Exercice 1135. Suite d'intégrale n°4

1. Soit $F_n(x) = \Frac{(\ln{x})^{n+1}}{x}$. \\ Calculer $F_n'(x)$. \\
2. Montrer que $u_{n+1} = - \Frac{2^{n+1}}{e^2}+(n+1)u_n$. \\
3. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$, $u_n= n!u_0- \Frac{n!}{e^2} \Sum_{k=1}^{n}\Frac{2^k}{k!}$. \\
4. Montrer que $\limn \parenthese{\Frac{u_n}{n!}} = 0$.

Exercice 1136. Aire trigonométrique

1. Etudier son domaine de définition. Montrer qu'elle est périodique de période $\pi$ et étudier ses variations dans l'intervalle $\into{-\ps{4}}{\Frac{3\pi}{4}}$. \\
2. Tracer la courbe de $f$ dans un repère. \\
3. Calculer les primitives de $f$. On mettra d'abord $f(x)$ sous la forme $f(x) = A+B\parenthese{\Frac{-\sin{x}+\cos{x}}{\cos{x}+\sin{x}}}$ où $A$ et $B$ sont des constantes à préciser. \\
4. En déduire la valeur de l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=0$, $x=\ps{2}$.

Exercice 1137. Equation différentielle

1. Justifier que $f$ est solution de l'équation différentielle $2y'-1 = (y-x)^2$. \\
2. En déduire la valeur de l'intégrale $I = \integrale{0}{1}{\parenthese{\Frac{1-e^x}{1+e^x}}^2}{x}$.

Exercice 1138. Série harmonique

1. Justifier que pour tout $k \geqslant 1$, $\Frac{1}{k+1} \leqslant \integrale{k}{k+1}{\Frac{1}{x}}{x} \leqslant \Frac{1}{k}$. \\
2. En déduire que pour tout $n \geqslant 1$, $\Frac{1}{n} + \ln{n} \leqslant h_n \leqslant 1 +\ln{n}$. La suite $(h_n)$ converge-t-elle ? \\
3. Pour $n \geqslant 1$, on pose $u_n = h_n-\ln(n)$. \\
   1. Montrer que $\forall n \geqslant 1$, $0 \leqslant u_n \leqslant 1$. \\
   2. Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ? \\
   3. En déduire que $\un$ converge.

Exercice 1139. Décomposition en éléments simples

1. On pose $J_a = \integrale{a}{1}{\Frac{1}{x(x^2+1)}}{x}$. \\
   1. Montrer qu'il existe deux réels $m$ et $p$ tels que $\Frac{1}{x(x^2+1)} = \Frac{m}{x}+\Frac{px}{x^2+1}$. \\
   2. En déduire la valeur de $J_a$. \\
2. Justifier qu'on peut prolonger $f$ par continuité en posant $f(0)=0$. \\
3. On pose $I_a = \integrale{a}{1}{f(x)}{x}$. \\ En intégrant par parties, exprimer $I_a$ en fonction de $J_a$.\\
4. Calculer $I = \displaystyle \lim_{a \to 0} I_a$. \\ Le résultat calculé est la valeur de $I = \integrale{0}{1}{f(x)}{x}$.

Exercice 1140. Décomposition en éléments simples n°2

1. Trouver une racine évidente, que l'on notera $\alpha$ puis factoriser le polynôme en trouvant ses deux autres racines $\beta$ et $\gamma$. \\
2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x) = \Frac{a}{x-\alpha} + \Frac{b}{x-\beta} + \Frac{c}{x-\gamma}$. \\
3. En déduire la valeur de $\integrale{4}{5}{f(x)}{x}$.

Exercice 1141. Décomposition en éléments simples n°3

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $t \in \Rpe$, $f_n(t) = \Frac{at^{n-1}+b}{t^n+1}+\Frac{c}{t}$. \\
2. Montrer que $\integrale{1}{2}{f_n(t)}{t} = \ln\parenthese{\sqrt[n]{\Frac{2^{n+1}}{2^n+1}}}$. \\
3. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, $\integrale{1}{2}{\Frac{t^{n-1}\ln{t}}{(t^n+1)^2}}{t}$.

Exercice 1142. Sommes et intégrales

1. Montrer que $u_n = \Frac{1}{n}\left[\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln\parenthese{1+\Frac{k}{n}}\right]$. \\
2. 1. Pour $k \in \llbracket 0,n-1\rrbracket$ montrer que $\Frac{1}{n}\ln\parenthese{1+\Frac{k}{n}} \leqslant \integrale{1+\frac{k}{n}}{1+\frac{k+1}{n}}{\ln{x}}{x} \leqslant \Frac{1}{n}\ln\parenthese{1+\Frac{k+1}{n}}$.\\
   2. En déduire que $u_n - \Frac{1}{n}\ln{2} \leqslant \integrale{1}{2}{\ln{x}}{x} \leqslant u_n$. \\
3. En déduire un encadrement de $u_n$ et $\limn u_n$.

Exercice 1143. Intégrales de Wallis

1. Calculer $W_0$ et $W_1$. \\
2. A l'aide d'une intégration par partie, montrer que pour tout $n \in \N$, $W_{n+2} = \Frac{n+1}{n+2}W_n$. \\
3. Exprimer $W_{2n}$ en fonction de $n$.