Primitives et équations différentielles

Exercice 1127. Déterminer toutes les primitives de la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = \Frac{1}{x(x+1)(x+2)}$.

Exercice 1128. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ telle que \[ \forall x \in \R, \quad f(-x)f'(x) = 1 \;\; et \;\; f(0) = -1 \] Soit $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=f(-x)f(x)$. \\

1. Montrer que $g$ ne s'annule pas sur $\R$. \\
2. Calculer $g'(x)$ puis en déduire l'expression de $g(x)$. \\
3. Déterminer la fonction $f$.

Exercice 1129. Pour tout $n \in \N^*$, on définit la fonction $f_n$ sur $\R$ par $f_n(x) = \Sum_{p=1}^{n}(-1)^ppe^{px}$.\\

1. Montrer que la primitive $F_n$ de $f_n$ qui s'annule pour $x=0$ est définie par $F_n(x) = \Frac{(-1)^ne^{(n+1)x}-e^{x}}{1+e^x}+\Frac{1-(-1)^n}{2}$.\\
2. En déduire que $\forall x \in \R$, $f_n = \Frac{(-1)^ne^{(n+2)x}+(-1)^n(n+1)e^{(n+1)x}-e^x}{(1+e^x)^2}$.\\
3. Soit $\un$ définie par $u_n =\Sum_{p=1}^{n}(-1)^p\Frac{p}{n^p}$. \\
   1. En utilisant ce qui précède, montrer que $u_n= \Frac{(-1)^n\Frac{n+2}{n^{n+1}}-\Frac{1}{n}}{\parenthese{1+\Frac{1}{n}}^2}$.\\
   2. En déduire alors $\limn u_n$.