Logarithme

Exercice 1108. Equation avec valeur absolue

\\ Résoudre l'inéquation $\ln(\abs{x}) < 1$.

Exercice 1109. Ensemble de définition et limites

\\ Soit $f$ définie par $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+9})$. \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. \\
  2. Déterminer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de $f$.

Exercice 1110. Fonction impaire

\\ Montrer que la fonction $f$ : $x \mapsto \ln(\sqrt{x^2+1}+x)$ est une fonction impaire. \\ On justifiera avant que l'ensemble de définition de $f$ est $\R$.

Exercice 1111. Simplification de logarithmes

\\ Simplifier pour tout $x \in \R$, $\ln(x+\sqrt{1+x^2})+\ln(\sqrt{1+x^2}-x)$. \\ On justifiera que la quantité précédente est définie sur $\R$

Exercice 1112. Cosinus hyperbolique

\\ Soit $ch$ la fonction définie sur $\R$ par $ch(x) = \Frac{e^x+e^{-x}}{2}$. \\ On l'appelle la fonction cosinus hyperbolique. \\
  1. Montrer que $ch''(x) = ch(x)$. \\
  2. On pose $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2-1})$ définie pour tout $x \geqslant 1$. \\
    1. Montrer que $\forall x \geqslant 1$, $ch \circ f(x) = x$. \\
    2. On admet que pour tout réel $x$, $ch(x) \geqslant 1$. Montrer que $f \circ ch(x) = x$.

Exercice 1113. Comparaison de nombres

\\
  1. Etudier la fonction $f$ : $x \in \R^{+*} \mapsto \Frac{\ln{x}}{x}$. \\
  2. En déduire les couples $(a,b)$ d'éléments de $\N^*$ vérifiant $a < b$ et $a^b = b^{a}$. \\
  3. Déterminer sans calculatrice le plus petit des deux réels $e^{\pi}$ et $\pi^{e}$.

Exercice 1114. Equation avec des fonctions puissance

\\ Résoudre l'équation pour tout réel $x > 0$, $x^{(x^x)} = (x^x)^x$.

Exercice 1115. Inégalité classique

\\ Montrer que $\forall x > -1,\: \ln(1+x) \leqslant x$.\\ En déduire $\forall n \geqslant 1, \: \parenthese{1+\Frac{1}{n}}^{n}\leqslant e \leqslant \parenthese{1-\Frac{1}{n}}^{-n}$.

Exercice 1116. Limite contre intuitive

\\ On cherche à déterminer $\limn \parenthese{1+\frac{1}{n}}^n$. \\
  1. Démontrer que pour tout entier naturel $n > 0$, $\parenthese{1+\Frac{1}{n}}^n = \exp\parenthese{n \ln \parenthese{1+ \Frac{1}{n}}}$ où $\exp$ est la fonction exponentielle. \\
  2. Démontrer que $\limz \Frac{\ln(1+x)}{x} = 1$. \\
  3. En déduire $\limn n \ln\parenthese{1+\Frac{1}{n}}$. \\
  4. Conclure.

Exercice 1117. Suite tendant vers l'exponentielle

\\ Soient $n \in \N^*$ et $x \in ]-n,+\infty[$. \\ Nous considérons la suite $\un$ définie par $u_n = \parenthese{1+\Frac{x}{n}}^n$.\\
  1. On pose $v_n = \ln(u_n)$. \\ Quelle est la limite de $\vn$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ? \\
  2. En déduire que, pour tout réel $x$, $\limn u_n = e^x$.

Exercice 1118. Fonction puissance

\\ Soit $f(x) = x^{x}$. \\
  1. Justifier que cette fonction est continue à droite en $x=0$. \\
  2. Est-elle dérivable en $x=0$ ? \\
  3. Etudier les variations de $f$ sur $\Rp$. \\
  4. Montrer que $f$ est convexe. \\
  5. En déduire pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $4\parenthese{\Frac{a+b}{2}}^{a+b} \leqslant (a^a+b^b)^2$.

Exercice 1119. Fonction puissance n°2

\\ Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ : $x \mapsto (1+x)^x$. \\ En déduire que pour tout $x > - 1$, $(1+x)^x > 1$.

Exercice 1120. Inégalité logarithmique

\\ Soit $a,b \in \R_+^{*}$. \\
  1. Montrer que $\sqrt{ab} \leqslant \Frac{a+b}{2}$. \\
  2. En déduire que $\Frac{1}{2}(\ln{a}+\ln{b}) \leqslant \ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}}$.

Exercice 1121. Inégalités logarithmiques n°2

\\
  1. Justifier que la fonction $\ln$ est concave. \\ Quels que soient les réels $a > 0$ et $b>0$, en déduire que $\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \geqslant \Frac{\ln{a}+\ln{b}}{2}$.\\
  2. Quels que soient les réels $a>1$ et $b>1$, en déduire les inégalités suivantes : \\
    • $\ln\parenthese{\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}}} \geqslant \Frac{\ln(\ln{a})+\ln(\ln{b})}{2}$. \\
    • $\ln\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \geqslant \sqrt{\ln{a}\times \ln{b}}$.

Exercice 1122. Inégalités logarithmiques n°3

\\ Pour $0 < a \leqslant b$, on note $f(x) = \Frac{\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)}$ définie sur $\R_+^*$. \\
  1. Etudier les variations de $f$. \\
  2. En déduire que $a \leqslant b \implies f\parenthese{\Frac{1}{b}} \leqslant f\parenthese{\Frac{1}{a}}$. \\
  3. En déduire que $\ln\parenthese{1+\Frac{a}{b}}\ln\parenthese{1+\Frac{b}{a}} \leqslant (\ln{2})^2$.

Exercice 1123. Inégalités logarithmiques n°4

\\ Démontrer pour tout $x \in [0,2[$, pour tout $\alpha \in \Rpe$, que $\parenthese{1+\Frac{x}{\alpha}}^{\alpha} \leqslant \Frac{2+x}{2-x}$. \\ On pourra poser $\varphi(x) = \ln\parenthese{\Frac{2+x}{2-x}}-\ln\parenthese{1+\Frac{x}{\alpha}}^{\alpha}$.

Exercice 1124. Limite et logarithmes

\\ Soient $a$ et $b$ des réels $> 0$. Montrer que \[ \lim_{x\to 0} \Frac{a^x-b^x}{x} = \ln{a}-\ln{b} \] On pourra utiliser le fait que pour tout réel strictement positif $u$, $u^{x} = e^{x\ln{u}}$ et la limite en $0$ de $\Frac{e^x-1}{x}$.

Exercice 1125. Système d'exponentielles

\\ Résoudre le système $(S) : \begin{cases} e^x + e^y = 5 \\ e^{-x}+e^{-y} = 3 \end{cases}$.
Exercice 1126. \\
  1. Montrer que $\limn \Frac{\ln(n+2^{-n})}{2n} = 0$. \\
  2. En déduire que $\limn \Frac{\ln(1+n2^n)}{2n} = \Frac{\ln{2}}{2}$.