Convexité

Exercice 1186. Montrer que $\forall x \in [0,1]$, $e^x \leqslant 1 +x(e-1)$.

Exercice 1187. Soit $f$ une fonction convexe sur $[a,b]$. \\ \\ Montrer que $f\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \leqslant \Frac{f(a)+f(b)}{2}$.

Exercice 1188. Pour tous réels $a$ et $b$ positifs, on admet qu'il existe deux réels $A$ et $B$ tels que $e^{A} = a$ et $e^{B} = b$.\\

1. Montrer que pour tous réels $A$ et $B$, $e^{\frac{A+B}{2}} \leqslant \Frac{e^{A}+e^{B}}{2}$.\\
2. En déduire que pour tous réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{ab} \leqslant \Frac{a+b}{2}$.

Exercice 1189. Montrer que toute fonction $f$ dérivable, convexe, strictement croissante sur un intervalle $[a,+\infty[$ admet pour limite $+\infty$ lorsque $x \to +\infty$.

Exercice 1190. Soient un entier $n \geqslant 1$ et $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^{2n}$.\\

1. Etudier la convexité de $f$ sur $\R$.\\
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 1. \\ En déduire que $\forall n \in \N^*, \forall x \in \R, x^{2n} \geqslant 2nx + 1 - 2n$.\\
3. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, pour tout $a,b \in \R$, $(a+b)^{2n} \leqslant 2^{2n-1}(a^{2n}+b^{2n})$.