Continuité

Exercice 1094. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_n + u_n^4$.\\
  1. Déterminer la monotonie de la suite. \\
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1$. \\
  3. Etudier la convergence de la suite. \\ On pourra raisonner par l'absurde en supposant que cette suite est convergente. Si cette suite converge vers $\ell$, montrer une contradiction.
Exercice 1095. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{e^x-e^{-x}}{2}$. \\
  1. Dresser le tableau complet des variations de $f$ (limites comprises). \\
  2. Soit $m$ un nombre réel.\\
    1. Montrer que l'équation $f(x)=m$ admet une unique solution notée $\alpha_m$ dans $\R$. \\
    2. Montrer que $e^{\alpha_m} = m + \sqrt{m^2+1}$.
Exercice 1096. Si $m \in \R$, quel est le nombre réels $x$ tels que $e^x = mx^2$ ?
Exercice 1097. Pour tout $n\in \N$, on note $f_n$ la fonction définie sur $\Rp$ par $f_n(x) = \Frac{1-x^n}{1+x^n}$.\\
  1. Selon les valeurs du réel $x$, déterminer la fonction $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = \limn f_n(x)$.\\
  2. Cette fonction est-elle continue en tout point de $\R^+$ ?
Exercice 1098. Soient un réel $\lambda > 1$ et $f$ une fonction continue en tout point de $\R$, vérifiant la relation \[ \quad \forall x \in \R, f(\lambda x) = f(x) \] \\
  1. Montrer que $\forall x \in \R$, $f \parenthese{\Frac{x}{\lambda}} = f(x)$. \\
  2. Pour $a \in \R$, on considère la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_0 = a$ et de raison $\Frac{1}{\lambda}$.\\ On pose $v_n = f(u_n)$. \\ Justifier que : $\forall n \in \N, v_n = f(a)$. \\
  3. En déduire que la fonction $f$ est constante.
Exercice 1099. Soient $a < b$ dans $\R$ et $f$ une application continue de $[a,b]$ dans $[a,b]$. \\ Montrer qu'il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = c$.
Exercice 1100. Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=f(1)$.\\ Montrer que l'équation $f(x + \frac{1}{2}) = f(x) $ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0, \frac{1}{2}]$.
Exercice 1101. \\
  1. Démontrer que pour tout $n \in \N^*$, l'équation $x^n+x-1 =0$ admet une unique solution $x_n \in \Rpe$. \\
  2. Calculer $x_1$ et $x_2$. \\
  3. Montrer que la suite $(x_n)$ est majorée par $1$. \\
  4. Etudier la monotonie de la suite $(x_n)$. \\
  5. Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel $\ell$ tel que $1 \geqslant \ell \geqslant \Frac{1}{2}$. \\
  6. Montrer que $\ell=1$. On pourra supposer par l'absurde que $(x_n)$ converge vers $\ell \in ]0,1[$.
Exercice 1102. Soit $f$ définie par $f(x) = \begin{cases} \Frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{x} \quad si \; x \neq 0 \\ 1 \quad sinon \end{cases}$. \\ $f$ est-elle continue en $0$ ? Sur quel ensemble $f$ est-elle définie ? Continue ?