Convergence monotone

Exercice 147. Soit $\un$ la suite définie telle que pour tout entier naturel $n$ on a $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$.\\ Que peut-on en déduire sur la suite $\un$ ?
Exercice 148. Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = e^{-1}$ et $u_{n+1} = e^{-1}\parenthese{1+\Frac{1}{n}}u_n$.\\
  1. Montrer que pour $n \in \N^*$, $1+\Frac{1}{n} \leqslant e$. \\
  2. En déduire que $\un$ est décroissante. La suite $\un$ converge-t-elle ?
Exercice 149. On considère la suite $\vn$ définie par $v_0 = 1$ et pour tout entier $n$, $v_{n+1} = \Frac{9}{6-v_n}$.\\ On suppose que, pour tout entier naturel $n$, $0 < v_n < 3$.\\ On suppose que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} - v_n = \Frac{ (3-v_n)^2}{6-v_n}$.\\ Démontrer que la suite $\vn$ est convergente.
Exercice 150. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 8$, et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{6u_n+2}{u_n+5}$.\\ On considère la fonction $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = \Frac{6x+2}{x+5}$. \\
  1. Montrer que pour $x > 2$, $f(x) > 2$. \\
  2. Montrer que pour $n \in \N$, $u_n > 2$. \\
  3. Montrer que la suite $\un$ converge.
Exercice 151. Soit $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x) = 2x-x^2$ et la suite $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = g(u_n)$. \\
  1. Montrer que $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$. \\
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $0 < u_n < u_{n+1} < 1$. \\
  3. En déduire que la suite $\un$ converge.
Exercice 152. Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant : \\ Affirmation : Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.
Exercice 153. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites telles que $\forall n \in \N$, $u_n \leqslant v_n$. \\ Est-il vrai que si $\vn$ converge alors $\un$ converge ? Et si on ajoute l'hypothèse que $\un$ croissante ?
Exercice 154. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites définies par $v_0 = 2$, $\forall n \in \N$, $u_n = \Frac{2}{v_n}$ et $v_{n+1} = \Frac{u_n+v_n}{2}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n$ et $v_n$ existent et sont strictement positifs. \\
  2. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $v_n - \sqrt{2} \geqslant 0$. \\ En déduire que $\forall n \geqslant 1$, $u_n \leqslant \sqrt{2} \leqslant v_n$. \\
  3. Montrer que $\un$ et $\vn$ convergent vers la même limite et la déterminer.
Exercice 155. Soit $\un$ la suite définie par $u_n = \Frac{2^n}{n!}$ pour tout $ n\geqslant 1$. \\
  1. Montrer que $\un$ est décroissante et qu'elle converge vers un réel. \\
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 2$, $0 < u_n \leqslant \Frac{4}{n}$. \\
  3. En déduire la limite de la suite $\un$.
Exercice 156. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+12}$. \\
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 4$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}-4 \leqslant \Frac{1}{4}(u_n-4)$. \\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N$, $0 \leqslant u_n-4 \leqslant \Frac{1}{4^n}$. \\
  4. En déduire que $\un$ converge vers une limite que l'on déterminera.
Exercice 157. Soit $\un$ la suite définie par $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{ke^k}$. \\
  1. Déterminer le sens de variations de la suite $\un$. \\
  2. Justifier que pour tout $k \in \N^*$, $\Frac{1}{ke^k} \leqslant \Frac{1}{e^k}$. \\
  3. Démontrer que $\un$ converge.
Exercice 158. \\
  1. Montrer que, $\forall p \geqslant 2$, $\Frac{1}{p^2} \leqslant \Frac{1}{p-1}-\Frac{1}{p}$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \geqslant 2$, $ \Sum_{p=2}^{n}\Frac{1}{p^2} \leqslant 1$. \\
  3. En déduire que la suite $(S_n)$ de terme général $S_n = \Sum_{p=2}^{n}\Frac{1}{p^2}$ converge.