Convergence monotone

Exercice 133. Soit $\un$ la suite définie telle que pour tout entier naturel $n$ on a $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$.\\ Que peut-on en déduire sur la suite $\un$ ?

Exercice 134. Soit $\un$ la suite définie par $u_1 = e^{-1}$ et $u_{n+1} = e^{-1}\parenthese{1+\Frac{1}{n}}u_n$.\\

1. Montrer que pour $n \in \N^*$, $1+\Frac{1}{n} \leqslant e$. \\
2. En déduire que $\un$ est décroissante. La suite $\un$ converge-t-elle ?

Exercice 135. On considère la suite $\vn$ définie par $v_0 = 1$ et pour tout entier $n$, $v_{n+1} = \Frac{9}{6-v_n}$.\\ On suppose que, pour tout entier naturel $n$, $0 < v_n < 3$.\\ On suppose que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} - v_n = \Frac{ (3-v_n)^2}{6-v_n}$.\\ Démontrer que la suite $\vn$ est convergente.

Exercice 136. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 8$, et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{6u_n+2}{u_n+5}$.\\ On considère la fonction $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = \Frac{6x+2}{x+5}$. \\

1. Montrer que pour $x > 2$, $f(x) > 2$. \\
2. Montrer que pour $n \in \N$, $u_n > 2$. \\
3. Montrer que la suite $\un$ converge.

Exercice 137. Soit $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x) = 2x-x^2$ et la suite $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = g(u_n)$. \\

1. Montrer que $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$. \\
2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $0 < u_n < u_{n+1} < 1$. \\
3. En déduire que la suite $\un$ converge.

Exercice 138. Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant : \\ Affirmation : Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.

Exercice 139. Soient $\un$ et $\vn$ deux suites telles que $\forall n \in \N$, $u_n \leqslant v_n$. \\ Est-il vrai que si $\vn$ converge alors $\un$ converge ? Et si on ajoute l'hypothèse que $\un$ croissante ?