Dérivation

Exercice 1051. Limites à connaître

\\
  1. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \Frac{\sin{x}}{x}$.\\
  2. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \Frac{\cos{x}-1}{x}$.

Exercice 1052. Limites à connaître n°2

\\
  1. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \Frac{e^x-1}{x}$. \\
  2. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 1}\Frac{\ln{x}}{x-1}$.

Exercice 1053. Fonction avec valeur absolue

\\ Etudier la dérivabilité en 0 de la fonction $f$ définie par $f(x) = \Frac{1}{1+\abs{x}}$.

Exercice 1054. Fonction avec valeur absolue n°2

\\ Etudier la fonction définie par $f(x) = \Frac{e^x}{\abs{x-1}}$.
Exercice 1055. Soit $f : x \mapsto \sqrt{1-x^2}$. \\ On note $\mathscr{D}$ son domaine de définition et $\mathscr{D}'$ son domaine de dérivabilité. \\
  1. Déterminer $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$. \\
  2. Donner une expression de $f'(x)$ pour tout $x \in \mathscr{D}'$. \\
  3. Pour tout $x \in \mathscr{D}$, on pose $g(x) = e^{\sqrt{1-x^2}}$. \\ Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathscr{D}'$ et calculer $g'(x)$.
Exercice 1056. \\ Soient $f : \R \to \R$ et $g : \R \to \R$ deux fonctions de même monotonie. \\ Montrer que $g \circ f$ est croissante sur $\R$.
Exercice 1057. \\ Soient les fonctions $g_n$ et $h_n$ définies pour tout $n$ naturel non nul et pour tout $x$ réel par \[ g_n(x) = 1+x+x^2+\hdots+x^n \quad \text{ et } \quad h_n = 1+2x+\hdots + nx^{n-1} \]
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, pour tout $x \neq 1$, $g_n(x) =\Frac{1-x^{n+1}}{1-x}$. \\
  2. En déduire que pour tout réel $x \neq 1$, $h_n(x) = \Frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(1-x)^2}$.
Exercice 1058. Pour tout $n \in \N$, on note $f_n$ la fonction définie sur $\R$ par \[ \begin{cases} f_0(x) = e^{1-x} \quad pour \; \; n=0 \\ f_n(x) = \Frac{x^n}{n!}e^{1-x} \quad pour \; \; n \in \N^* \end{cases} \] Etudier les variations de $f_n$. On distinguera plusieurs cas.
Exercice 1059. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\Rpe$ par \[f(x) = (\sqrt{x+1})\parenthese{ 1 + \Frac{1}{\sqrt{x}} }\] \\ En étudiant la fonction $f$ sur $\Rpe$, montrer que pour tous réels $a > 0$ et $b >0$ : \[(\sqrt{a+b}) \parenthese{ \Frac{1}{\sqrt{a}} + \Frac{1}{\sqrt{b}}} \geqslant 2 \sqrt{2}\]
Exercice 1060. Pour tout réel $a \neq 0$, on note $\mathscr{C}_a$ la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de la fonction \[f_a(x) = ax^2+(1-2a)x+a\] Démontrer que toutes les courbes $\mathscr{C}_a$ passent par un même point et qu'elles ont une tangente commune en ce point.
Exercice 1061. pour $m \in \R$ on pose \[f_m(x) = \Frac{x+m}{x^2+1}\] On note $\mathscr{C}_m$ la courbe représentative de $f_m$. \\
  1. Montrer que les tangentes aux courbes $\mathscr{C}_m$ au point d'abscisse 0 sont parallèles. \\
  2. Montrer que les tangentes aux courbes $\mathscr{C}_m$ au point d'abscisse 1 sont concourantes.
Exercice 1062. On considère une fonction $f$ définie sur $\R$. \\ On définit la fonction $g$ sur $\R^*$ par $g(x) = \Frac{f(x)-f(-x)}{2x}$. \\ Montrer que si $f$ est dérivable en $0$, alors $\limz g(x)$ existe et donner sa valeur.
Exercice 1063. Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. \\ Que vaut $\displaystyle \lim_{x \to a} \Frac{xf(a)-af(x)}{x-a}$ ?
Exercice 1064. Soit un réel $a > 0$ et $g$ la fonction définie sur $\Rp \backslash\{a\}$ par $g(x) = \Frac{a^2\sqrt{x}-x^2\sqrt{a}}{x-a}$.\\ Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)$ de deux manières différentes.
Exercice 1065. Soit $f$ un polynôme et $\alpha$ un réel. \\ Montrer l'équivalence : $\alpha$ est une racine double $f$ $\iff$ ($f(\alpha)=0$ et $f'(\alpha)=0$).
Exercice 1066. \\ Soit $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x) = x-2x\sqrt{2}+1$. \\ Montrer que $f \circ f = x$.
Exercice 1067. \\ Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $I$. \\ On suppose qu'il existe $a \in I$ tel que $f(a)=g(a)=0$ et $g'(a) \neq 0$. \\
  1. Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to a} \Frac{f(x)}{g(x)} = \Frac{f'(a)}{g'(a)}$. \\
  2. Application 1 : Calculer $\limz h(x)$ avec $h(x) = \Frac{x+1-\sqrt{x+1}}{x^3-2x}$. \\
  3. Application 2 : Calculer $\limz \Frac{\cos(5x)-\cos(3x)}{\sin(4x)-\sin(3x)}$.
Exercice 1068. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+1)^2e^{-x}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, il existe des réels $a_n$ et $b_n$ tels que $\forall x \in \R$, $f^{(n)}(x) = (-1)^n(x^2+a_nx+b_n)e^{-x}$. \\
  2. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$. \\
  3. En déduire les expressions explicites de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
Exercice 1069. Soient $a$, $p$ et $q$ des réels $>0$ tels que $\Frac{1}{p}+\Frac{1}{q} = 1$. \\ On considère la fonction $f$ de $\R_+^*$ dans $\R_+^*$ définie par $f(x) = \Frac{x^p}{p}+\Frac{a}{qx^q}$. \\
  1. Calculer $f'(x)$ puis déterminer les variations de $f$. \\
  2. Vérifier que $f$ admet un minimum unique et qu'il vaut $a^{\frac{1}{q}}$.
Exercice 1070. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (1-2x)e^{2x}\] On note $f^{(n)}$ la dérivée $n$-ième de $f$ définie pour tout $n \geqslant 1$ par $f^{(n+1)} = (f^{(n)})'$. \\
  1. Démontrer par récurrence que pour tout naturel $n$ non nul, $f^{(n)}(x)=2^n(1-n-2x)e^{2x}$. \\
  2. Démonter que $\forall n \in \N^*$, la courbe représentative de $f^{(n)}$ admet une tangente horizontale en un point $M_n$. \\
    1. Calculer les coordonnées $(x_n;y_n)$ de $M_n$. \\
    2. Vérifier que $\forall n \in \N^*$, $M_n$ appartient à la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y= \Frac{e^{2x}}{4^x}$. \\
  4. Vérifier que la suite $(x_n)$ est une suite arithmétique et $(y_n)$ est une suite géométrique.
Exercice 1071. Soit un naturel $n \geqslant 2$ et $f_n$ la fonction définie sur $\Rp$ par $f_n(x) = \Frac{1+x^n}{(1+x)^n}$.
  1. Déterminer $f_n'(x)$. \\
  2. Montrer que $f_n$ admet un minimum sur $\Rp$. \\
  3. En déduire que pour tout $x \in \Rp$, $(1+x)^n \leqslant 2^{n-1}(1+x^n)$\\
  4. En déduire pour tout $(x,y) \in \Rp^2$, $(x+y)^n \leqslant 2^{n-1}(x^n+y^n)$.
Exercice 1072. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que $f'(x) = \Frac{1}{1+x^4}$ et $f(0)=0$. \\ Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(-x)$. \\
  1. Déterminer $g'(x)$ puis justifier que $g$ est décroissante sur $\R$. \\
  2. Résoudre l'inéquation $g(x) \geqslant 0$. \\
  3. On souhaite montrer que $f$ est une fonction impaire. \\ On pose $h(x) = g(x)+f(x)$. Montrer que la fonction $h$ est la fonction constante égale à $0$. Conclure.

Exercice 1073. Fonction périodique

\\ Montrer que toute fonction $f$ dérivable et périodique admet une dérivée périodique de même période.

Exercice 1074. Fonction à paramètre

\\ Pour tout $m \in \R$, on pose $f_m(x) = e^{x-m}-2x+e^{m}$. \\
  1. Montrer que $f_m$ admet un minimum. \\
  2. Montrer que la valeur du minimum la plus petite possible est $4-3\ln{2}$.
Exercice 1075. Montrer que la courbe de la fonction $f$ définie sur $]1,+\infty[$ par $f(t) = t^t+t-1$ n'admet aucune tangente horizontale.