Généralités

Exercice 1122. Suites imbriquées

\\ Soient $\un$ et $\vn$ les suites définies par $u_0 = 16$, $v_0 = 5$ et $\begin{cases} u_{n+1} = \Frac{3u_n+2v_n}{5} \\ v_{n+1} = \Frac{u_n+v_n}{2} \end{cases}$.\\ On pose $w_n = u_n-v_n$. \\
  1. Montrer que $\wn$ est géométrique. En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.\\
  2. Démontrer que $\un$ est décroissante. \\ On pourra faire apparaître $w_n$ dans l'expression de $u_{n+1}-u_n$.

Exercice 1123. Suite géométrique

Soit un réel $k>0$ tel que $k \neq 1$. \\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \Frac{1+ku_n}{k+u_n}$.\\ On pose $v_n = \Frac{u_n-1}{u_n+1}$.\\
  1. Montrer que la suite $\vn$ est géométrique de raison $q=\Frac{k-1}{k+1}$.\\
  2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 1124. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = e$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = e u_n^2$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant e$. \\
  2. En considérant le rapport $\Frac{u_{n+1}}{u_n}$, montrer que $\un$ est croissante. \\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant e^n$.
Exercice 1125. Soit $(x,y)$ un couple de réel strictement positifs et deux suites $(x_n)$, $(y_n)$ définies par \[ y_0 = y,\; x_0 = x, \;x_{n+1} = \sqrt{x_ny_n} \quad et \quad y_{n+1} = \Frac{x_n+y_n}{2} \]\\
  1. Justifier que pour tout réel $u,v$ strictement positifs, on a $\sqrt{uv} \leqslant \Frac{u+v}{2}$.\\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont bien définies et restent strictement positives.\\
  3. Etablir que pour tout $n \in \N^*$, $y_n \geqslant x_n$.\\
  4. Etudier la monotonie des suites $(x_n)$ et $(y_n)$.
Exercice 1126. \\ Soit $\un$ une suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = (u_n)^3$ pour tout entier $n \geqslant 0$.\\ On pose $v_n = \ln(u_n)$.\\
  1. Justifier que $v_n$ est bien défini sur $\N$ puis déterminer la nature de la suite $(v_n)$.\\
  2. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 1127. Caractérisation d'une suite géométrique

\\ Montrer que $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ $\iff$ $\forall n \in \N$, $u_n u_{n+2} = u_{n+1}^2$.\\ On supposera que tous les termes de la suite sont non nuls.
Exercice 1128. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 \in \R$ et $u_{n+1} = \sqrt{1+\Frac{u_n^2}{2}}$.\\ On pose $v_n = u_n^2$.\\
  1. Montrer que $v_{n+1} = 1 + \Frac{v_n}{2}$. \\
  2. On pose $w_n = v_n-2$. \\ Montrer que $\wn$ est géométrique de raison $\Frac{1}{2}$.\\
  3. En déduire que $u_n = \sqrt{2+\Frac{1}{2^n}(u_0^2-2)}$.
Exercice 1129. Soit $\un$ définie par $u_0 =0$ et pour tout $n \geqslant 1$, $u_n = u_{n-1}+n(-1)^{n+1}$. \\ On pose $v_n = u_{2n}$ et $w_n= u_{2n+1}$. \\
  1. Montrer que $\vn$ et $\wn$ sont arithmétiques. \\
  2. Calculer $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$ puis vérifier que pour tout $n \geqslant 1$, $u_{2n-1} = -u_{2n}$.
Exercice 1130. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 \in \R$ et $u_{n+1} = (n+1)u_n+2^n(n+1)!$.\\
  1. On pose $v_n = \Frac{u_n}{n!}$. \\ Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.\\
  2. Déterminer $u_n$ en fonction de $n$.