Récurrences doubles et fortes
Exercice 1008. Suite récurrente linéaire d'ordre $2$
\\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 =-3$, $u_1 = -4$ et $\forall n \in \N^*$, $u_{n+1} = 5u_n-6u_{n-1}$.\\ Montrer que $\forall n \in \N$, $u_n = 2\times 3^n - 5 \times 2^n$.
Exercice
1009. Soit $x \in \R$ tel que $x + \Frac{1}{x}$ soit un entier. \\
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $x^n +\Frac{1}{x^n}$ est un entier.
Exercice
1010. Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N, \: u_{n+1} = u_0 + u_1 + \hdots + u_n$.\\
Montrer que $\forall n \in \N, \: u_n \leqslant 2^n$.
Exercice 1011. Suite de Fibonacci
\\ Soit la suite de Fibonacci $(F_n)$ définie par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et $\forall n \in \N^*, F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$.\\- Montrer que $\forall n \in \N$, $F_n \in \N$. Déterminer le sens de variations de $(F_n)$. \\
- Montrer que $\forall n \in \N^*$, $F_n^2 - F_{n-1} F_{n+1} = (-1)^{n+1}$.\\
- Montrer que $\Sum_{k=1}^{n} F_k^2 = F_n F_{n+1}$.
Exercice
1012. Montrer que tout entier naturel $n$ peut se décomposer de façon unique comme le produit d'une puissance de $2$ par un nombre impair. \\
Autrement dit, montrer qu'il existe deux naturels $p$ et $q$ uniques tels que $n = 2^n(2q+1)$.