Récurrences simples

Exercice 999. Un incontournable

\\ Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $0+1+2+3+\hdots+n = \Frac{ n(n+1)}{2}$.

Exercice 1000. Un incontournable n°2

\\ Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $1^2+2^2+3^2+\hdots+n^2 = \Frac{ n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Exercice 1001. Un incontournable n°3

\\ Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, $\displaystyle 1^3+2^3+\hdots+n^3 = \parenthese{ \Frac{n(n+1)}{2} }^2$.

Exercice 1002. Somme telescopique

\\
  1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $\;\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \times k! = (n+1)!-1$.\\
  2. En utilisant le fait que $k = (k+1)-1$, établir le résultat précédent sans passer par une récurrence.

Exercice 1003. Nombre de Pierre de Fermat

\\ On définit la suite $(F_n)$ par $F_n = 2^{2^n}+1$ pour tout entier naturel $n$. \\
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $F_{n+1} = (F_n-1)^2+1$. \\
  2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $F_n-2 = \displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} F_k$.

Exercice 1004. Suite de factorielles

Soit $\un$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par \[ u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} = \Frac{1}{0!}+\Frac{1}{1!}+\Frac{1}{2!} + \hdots + \Frac{1}{n!} \]
  1. Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $2^{k-1} \leqslant k!$. \\
  2. Montrer que $\un$ est majorée par 3.

Exercice 1005. Inégalité plus forte

  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 2$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{n}$. \\
  2. Montrer sans passer par un raisonnement par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} \geqslant \sqrt{n}$.

Exercice 1006. Puissance d'irrationnel

\\ On s'intéresse à la forme développée de $(2+\sqrt{3})^n$. \\ Montrer qu'il existe deux suites d'entiers naturels $a_n$ et $b_n$ telles que pour tout $n \in \N$, $(2+\sqrt{3})^n = a_n + b_n \sqrt{3}$.

Exercice 1007. Equation fonctionnelle

\\ Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ vérifiant la condition $\forall x \in \R$, $f(2x)=f(x)$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \in\N$, $f(2^nx) = f(x)$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $f\parenthese{\Frac{x}{2^n}} = f(x)$.