Suites et logarithme

Exercice 371. Suite arithmétique

\\ On considère $\un$ définie par $u_n = 2\times0,9^n-3$ et $\vn$ définie par $v_n = \ln(0,5u_n+1,5)$. \\ Montrer que $\vn$ est arithmétique de raison $\ln(0,9)$.

Exercice 372. Suite arithmétique n°2

\\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1,5$ et $u_{n+1} = 2u_n-1$.\\ Montrer que la suite $(w_n)$ définie par $w_n = \ln(u_n-1)$ est arithmétique. \\ Donner alors son expression en fonction de $n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 373. Suite arithmétique n°3

\\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$, $u_1 =e$ et $u_{n+2} = \Frac{u_{n+1}^2}{eu_n}$. \\ On définit pour tout $n \in \N$, la suite $\vn$ par $v_n = \ln(u_{n+1})-\ln(u_n)$. \\ Montrer que $\vn$ est arithmétique de raison $-1$ et de premier terme $v_0 =1$.

Exercice 374. Suite géométrique

\\ Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et $\unp = \sqrt{2u_n}$.\\ On pose $v_n = \ln{u_n}-\ln{2}$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est géométrique. \\
  2. Déterminer le terme général $u_n$.

Exercice 375. Suite géométrique n°2

\\ Soit $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et \[u_{n+1} = g(u_n) \quad avec \quad g(x) = 2x-x^2 \] Soit $\vn$ la suite définie par $v_n = \ln(1-u_n)$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est géométrique. \\
  2. En déduire l'expression $u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 376. Suite géométrique n°3

\\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = a>1$ et $u_{n+1} = u_n^2-2u_n+2$. \\ On admet que $u_n > 1$ pour tout $n \in \N$. \\ On pose $v_n = \ln(u_n-1)$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est géométrique. \\
  2. Montrer que $u_n = 1+e^{2^n\times\ln(a-1)}$. \\
  3. Déterminer suivant les valeurs de $a$ la limite de $\un$.

Exercice 377. Suite géométrique n°4

\\ Soit $g$ définie sur $[0,1]$ par $g(x) = 2x-x^2$. \\ Soit $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = g(u_n)$. \\ On pose $v_n = \ln(1-u_n)$. \\
  1. Montrer que $\vn$ est géométrique. \\
  2. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis calculer $\limn u_n$.

Exercice 378. Suite et continuité

\\ Soit $\un$ définie par $u_0 = 8$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = u_n - \ln\parenthese{\Frac{u_n}{4}}$. \\
  1. Etudier les variations de $f : x \mapsto x-\ln\parenthese{\Frac{x}{4}}$ sur $\Rpe$. \\
  2. Montrer que $\forall n \in \N$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. \\
  3. Montrer que $\un$ converge vers une limite $\ell$ et déterminer sa limite.