Python

Exercice 83. Terme d'une suite

\\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 4u_n+5$. \\ Compléter la fonction terme_suite ci-dessous, pour qu'elle renvoie le terme de rang $p$ de la suite $\un$. \\

Exercice 84. Terme d'une suite n°2

\\ Soit $\un$ définie par $u_0 = 0$ $u_{n+1} = \Frac{-u_n-4}{u_n+3}$.\\ On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python : \\ \\ On rappelle qu'en langage Python, i in range (n) signifie que $i$ varie de 0 à $n-1$. \\ Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que pour tout naturel $n$, l'instruction terme(n) renvoie la valeur de $u_n$. \\

Exercice 85. Terme d'une suite n°3

\\ On considère la suite $\un$ définie par $u_1 = \Frac{1}{e}$ et $u_{n+1} = \Frac{1}{e}\parenthese{1+\Frac{1}{n}}u_n$. \\ On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_n$. Compléter l'algorithme. \\

Exercice 86. Une entreprise a créé une (FAQ) sur son site internet. \\ On y étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois. \\ Chaque mois : \\

• $90$% des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ. \\
• $130$ nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ. \\

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées. \\ $u_n$ représente, pour $n \geqslant 1$, le nombre de questions, en centaines, présentes sur la $FAQ$ au $n$-ième mois. \\

1. Donner $u_1$, puis exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. \\ On admet que la suite est croissante. \\
2. Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche le nombre de mois necessaires pour que le site dépasse les $1000$ questions. \\
   def mille_questions( ) : \\ $\quad$ n=1 \\ $\quad$ u=3 \\ $\quad$ while $\hdots$ $\hdots$ : \\ $\quad$ $\quad$ u= $\hdots$ \\ $\quad$ $\quad$ n= $\hdots$ \\ $\quad$ return n

Exercice 87. Exploiter un algorithme

On considère la suite $\un$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 5u_n-8n+6$.\\ On considère la suite $\vn$ définie pour tout $n \in \N$, par $v_n = u_n - 2n+1$.\\

1. On a écrit la fonction suite_v ci-dessous : \\
   def suite_v(n) : \\ $\quad$ L = [] \\ $\quad$ u=3 \\ $\quad$ for i in range(n+1) : \\ $\quad$ $\quad$ L.append(suite_u(i)-2*i+1) \\ $\quad$ return L
   \\ La commande L.append permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste L. \\ On admet que la fonction suite_u(i) renvoi le terme $u_i$. \\ Lorsqu'on saisit suite_v(5) dans la console, on obtient l'affichage suivant : \\
   $>>>$ suite_v(5) $[1, 5, 25, 125, 625, 3125]$
   \\
2. Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.\\ Démontrer cette conjecture.\\
3. En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 88. Expliquer une valeur renvoyée

\\ En 2021, une influenceuse compte 1000 abonnés à son profil. \\ On modélise le nombre d'abonnés ainsi : chaque année, elle perd 10% de ses abonnés auxquels s'ajoutent 250 nouveaux abonnés. \\ Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020+n)$, suivant cette modélisation. Ainsi, $u_0 = 1000$. \\

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n+250$. \\
2. La fonction Python nommée suite est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10). \\
   def suite(n) : \\ $\quad$ u=1000 \\ $\quad$ for i in range (n): \\ $\quad$ $\quad$ u = 0,9*u +250 \\ $\quad$ return n

Exercice 89. Déterminer la valeur de sortie

\\ On considère l'algorithme suivant écrit en langage naturel : \\ \\

1. Quel est l'affichage en sortie pour $N=3$ ? \\
2. Interpréter l'algorithme à l'aide d'une suite. Que fait l'algorithme ?