Exercices divers
Exercice 601. Bac 1981
On admet que pour tout nombre $r \in \Q$, il existe un unique couple $(p,q) \in \Z \times \N^*$ tel que $r = \Frac{p}{q}$. \\ Soit $f$ l'application définie par $f(r)=q$. \\- Montrer que $f$ est $1$-périodique. \\
- Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels, montrer que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a+b$ est premier avec $a$ et avec $ab$. \\
- Soit un rationnel $r_0 \in ]0,1[$ tel que $r_0 = \Frac{p_0}{q_0}$ avec $p_0$ et $q_0$ premiers entre eux. \\
- Montrer qu'il existe des rationnels de la forme $\Frac{p_0}{q}$ ($p_0$ et $q$ premiers entre eux) tels que $f\parenthese{\Frac{p_0}{q}+\Frac{p_0}{q_0}} = q \times q_0$. \\
- En déduire que $1$ est la plus petite période de $f$.
Exercice 602. Bac 2010
\\ On se propose d’étudier des couples $(a, b)$ d’entiers strictement positifs, tels que : $a^2 = b^3$. \\ Soit $(a, b)$ un tel couple et $d = \PGCD(a, b)$. On note $u$ et $v$ les entiers tels que $a = d u$ et $b = d v$.\\- Montrer que $u^2 = d v^3$.\\
- En déduire que $v$ divise $u$, puis que $v=1$.\\
- Soit $(a, b)$ un couple d’entiers strictement positifs. \\ Démontrer que l’on a $a^2 = b^3$ si et seulement si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d’un même entier. \\
- Montrer que si $n$ est le carré d’un nombre entier naturel et le cube d’un autre entier, alors $n \equiv 0 \; [7] \quad \text{ou} \quad n \equiv 1 \; [7]$.