Théorèmes d'encadrement et comparaison

Exercice 134. Déterminer $\limn n^2+\Frac{\sin{n^2}}{2}$.
Exercice 135. Déterminer $\limn \sqrt{\sin^2{n}+n^2}$.
Exercice 136. La suite $\un$ vérifie pour tout entier naturel $n \geqslant 20$, $\;\;-2 - \Frac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant -2 + \Frac{3}{n}$.\\ Démontrer que $\un$ est convergente et préciser sa limite.
Exercice 137. Soit $\un$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 3u_n-2n+3$.\\
  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant n$. \\
  2. En déduire la limite de la suite $\un$.
Exercice 138. Déterminer la limite de la suite $\un$ définie par $u_n = ((-1)^n-4)n^2$.
Exercice 139. Soit $\vn$ définie par $v_0 = 0$ et pour tout entier $n$, $v_{n+1} = v_n^2 + 1$.\\
  1. Démontrer que, pour tout $x \in \R$, $x^2+1 \geqslant 2x$. \\ En déduire par récurrence que si $n\geqslant 4$, alors $v_n \geqslant 2^n$. \\
  2. En déduire la limite de $\vn$.
Exercice 140. On considère une suite $(w_n)$ qui vérifie, $\forall n \in \N$, $n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2+n$.\\ Dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant : \\ Proposition : La suite $\wn$ converge.
Exercice 141. On admet que pour tout $n\in \N$, $n \leqslant u_n \leqslant n+1$. \\ Déterminer la limite de la suite $\parenthese{\Frac{u_n}{n}}_{n\in \N}$.
Exercice 142. On sait que pour tout $n \in \N$, $u_n \leqslant \Frac{-9^n+3^n}{7^n}$.\\ Que peut-on dire de la limite de $\un$ ?
Exercice 143. Soit $\un$ telle que pour tout $n\in \N$, $u_n \geqslant n+1$. \\
  1. Déterminer $\limn u_n$. \\
  2. On pose $r_n^2 = 2+\Frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$. \\ Calculer $\limn r_n^2$ puis en déduire $\limn r_n$.
Exercice 144. Soit $\un$ la suite définie sur $\N$ par $u_0 \in \Rp$ et $u_{n+1} = u_n + \sqrt{n+1} + \sin{u_n}$.\\
  1. Déterminer les variations de $\un$ puis montrer que tous les termes de la suite sont positifs ou nuls. \\
  2. Calculer $\limn u_n$.
Exercice 145. La suite $\un$ est définie sur $\N^*$ par $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leqslant u_n \leqslant \Frac{1}{2\sqrt{n}}$. \\
    2. En déduire $\limn u_n$. \\
  2. La suite $\vn$ est définie par $v_n = \Frac{u_1+u_2+\hdots+u_n}{\sqrt{n}}$. \\ Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis donner la limite de $\vn$.
Exercice 146. Soit $\un$ définie pour tout $n\geqslant 1$ par $u_n = 1 + \Frac{1}{\sqrt{2}}+\Frac{1}{\sqrt{3}} + \hdots + \Frac{1}{\sqrt{n}}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \geqslant \sqrt{n}$. \\
  2. En déduire $\limn u_n$.