Théorèmes d'encadrement et comparaison

Exercice 116. Déterminer $\limn n^2+\Frac{\sin{n^2}}{2}$.
Exercice 117. Déterminer $\limn \sqrt{\sin^2(n)+n^2}$.
Exercice 118. La suite $\un$ vérifie pour tout entier naturel $n \geqslant 20$, $\;\;-2 - \Frac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant -2 + \Frac{3}{n}$.\\ Démontrer que $\un$ est convergente et préciser sa limite.
Exercice 119. Soit $\un$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 3u_n-2n+3$.\\
  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant n$. \\
  2. En déduire la limite de la suite $\un$.
Exercice 120. Déterminer la limite de la suite $\un$ définie par $u_n = ((-1)^n-4)n^2$.
Exercice 121. Soit $\vn$ définie par $v_0 = 0$ et pour tout entier $n$, $v_{n+1} = v_n^2 + 1$.\\
  1. Démontrer que, pour tout $x \in \R$, $x^2+1 \geqslant 2x$. \\ En déduire par récurrence que si $n\geqslant 4$, alors $v_n \geqslant 2^n$. \\
  2. En déduire la limite de $\vn$.
Exercice 122. On considère une suite $(w_n)$ qui vérifie, $\forall n \in \N$, $n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2+n$.\\ Dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant : \\ Proposition : La suite $\wn$ converge.
Exercice 123. On admet que pour tout $n\in \N$, $n \leqslant u_n \leqslant n+1$. \\ Déterminer la limite de la suite $\parenthese{\Frac{u_n}{n}}_{n\in \N}$.
Exercice 124. On sait que pour tout $n \in \N$, $u_n \leqslant \Frac{-9^n+3^n}{7^n}$.\\ Que peut-on dire de la limite de $\un$ ?
Exercice 125. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \Frac{3}{4}u_n+\Frac{1}{4}n+1$. \\
  1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \N$, $n \leqslant u_n \leqslant n+1$. \\
  2. En déduire, le sens de variation et la limite de la suite $\un$. \\
  3. Calculer $\limn \Frac{u_{n}}{n}$.
Exercice 126. Soit $\un$ telle que pour tout $n\in \N$, $u_n \geqslant n+1$. \\
  1. Déterminer $\limn u_n$. \\
  2. On pose $r_n^2 = 2+\Frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$. \\ Calculer $\limn r_n^2$ puis en déduire $\limn r_n$.
Exercice 127. On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_n = 10n \parenthese{\Frac{1}{2}}^{n} + 11 \parenthese{\Frac{1}{2}}^{n} + 34$. \\ On admet que pour tout $n \geqslant 4$, on a \[ 0 \leqslant 10n \parenthese{\Frac{1}{2}}^{n} \leqslant \Frac{10}{n} \] Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(w_n)$ ?
Exercice 128. Soit $\un$ la suite définie sur $\N$ par $u_0 \in \Rp$ et $u_{n+1} = u_n + \sqrt{n+1} + \sin{u_n}$.\\
  1. Déterminer les variations de $\un$ puis montrer que tous les termes de la suite sont positifs ou nuls. \\
  2. Calculer $\limn u_n$.