Géométrie

Exercice 626. Bac 2017

On considère la suite des nombres complexes $(z_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $ z_n = \Frac{1 + i}{(1 - i)^n}$.\\ On se place dans le plan complexe d’origine $O$. \\
  1. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d’affixe $z_n$. \\
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\Frac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel. \\
    2. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points $O$, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés. \\
  2. Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z_n$ est-il réel ?
Exercice 627. Soit $M$ un point d'affixe $z \in \C$ non nul. \\ Soit $M'$ le point d'affixe $z'$ défini par $z' = -\Frac{1}{z}$. \\
  1. Exprimer $\abs{z'}$ en fonction de $\abs{z}$. \\
  2. Montrer que $\bar{z'+1} = \Frac{1}{z}(z-1)$. \\
  3. Montrer que $\vect{OM} = -\abs{z}^2 \vect{OM'}$. \\ Que peut-on en déduire ? \\
  4. Montrer que $\abs{z'+1}=\abs{z'} \iff \abs{z-1} =1$.

Exercice 628. Bac 2007

\\ A tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \Frac{1}{2}\parenthese{z+\Frac{1}{z}}$. \\ Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $1$ et $-1$. \\ On supposera $M$ distinct de $O$, $A$ et $B$. \\
    1. Montrer que $\Frac{z'+1}{z'-1} = \parenthese{\Frac{z+1}{z-1}}^2$. \\
    2. En déduire l'expression de $\Frac{M'B}{M'A}$ en fonction de $MB$ et $MA$. \\
    3. De même, en déduire l'expression de l'angle $(\vect{AM'},\vect{BM'})$ en fonction de l'angle $(\vect{AM},\vect{BM})$. \\
  2. Montrer que $M \in$ à la médiatrice du segment $[AB] \iff M'$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$. \\
  3. Montrer que $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ $\iff$ les points $M'$, $A$ et $B$ sont alignés. \\

Exercice 629. Bac 2018

Soit $(z_n)$ la suite de complexes définie par $z_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $z_{n+1} = \Frac{1}{3}z_n + \Frac{2}{3}i$. \\ On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ et $C$ le point d'affixe $i$. \\
  1. Montrer que $(u_n)$ définie par $ u_n = z_n - i$ est géométrique. \\
  2. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis calculer $\limn \abs{u_n}$. \\
  3. Montrer que $\limn A_n C = 0$. \\
  4. Déterminer un argument de $u_n$, pour tout $n \in \N$. \\
  5. On note $B_n$ les points d'affixes $u_n$. \\ Montrer que tous les points $B_n$ sont alignés. \\
  6. Montrer que, pour tout $n \in \N$, le point $A_n$ appartient à la droite d'équation $y=-x+1$.